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corda corrispondente, preso ad arbitrio un numero positivo s <^ l , e fatto 

 F(J) = «(P^- 1 ' P (r) , PP') — e , potremo costruire, per il n. 1, i due sistemi 



d'intervalli J e 2, relativi alla F(ó) qui fissata e all'intervallo (s (r - n , s (r) ). 

 Gli intervalli di tali sistemi li contrassegneremo con l' indice r e scriveremo 

 J iry ,J lr K Dal numero precedente risulta: 1°) X-^m — 3X4? ; 2°) se 



P e P' corrispondono agli estremi di uno stesso J ir \ è a(P (r-1) P (r) , PP') => ?. ; 

 3°) se (s,s r ) è un intervallo di (s (r-1) , s (r) ) avente un estremo esterno a 

 tutti i 2 (r \ è a(P lr - l > P lr) , PP') <«. Si considerino ora i sistemi J (r1 ,2 lr) 

 relativi a tutti i valori di r, da 1 a p\ e fra tutti gli intervalli J ( £ 

 (r = 1 , 2 , ...p ; m = 1 , 2 , ...) se ne scelgano ad arbitrio e si indichino 

 con J 1 ,J 2 ,...J q . Si inscriva in C la poligonale ri (la cui lunghezza in- 

 dicheremo ancora con ri) i cui vertici (che si presentano su ri nello stesso 

 ordine in cui si trovano su C) siano dati da tutti quelli di n e dai punti di C 

 che corrispondono agli estremi degli intervalli J 1 ,J i ....J q . È, evidente- 

 mente, n <[ri < L e perciò ri — n <- L — n. Sia n\ la somma delle lun- 

 ghezze di quei lati di ri, ciascuno dei quali corrisponde ad uno dei seg- 



Tt 



menti z/, , ... J q e fa un angolo compreso fra e e — (estremi inclusi) 



Li 



con P^- 1 ' P <r) , essendo P <r-1) e P (r) i vertici consecutivi di n che com- 

 prendono fra loro gli estremi del lato considerato; ri 2 , la somma delle lun- 

 ghezze dei lati che corrispondono ai rimanenti 2 X ... J q ; ri s , la parte 

 restante di ri. Il lato p<r-i>pcr> della n è minore 0 uguale alla somma 

 dei valori assoluti delle proiezioni ortogonali, fatte su P'*"- 1 ' P (r) stesso, di 

 quei lati di ri, compresi fra p (r - n e P <r) , che formano con esso un angolo 



TX 



< — . Queste proiezioni sono poi sempre minori 0 uguali alla lunghezza 

 2 



dei lati che si proiettano e, nel caso che i lati proiettanti corrispondano 

 a qualcuno degli intervalli J x , J \ , ... J ' q , anche minori 0 uguali ai lati 

 stessi moltiplicati per cos e . Si ha così 



JL 



Ti = y_p(r-V per) < cog s _J_ n ' 9 < n > _ _J_ n ^ _ CQg £ ) _ 



r=l 



donde n\ -f- ri, <- — ^ <" 3 — — r— . Osserviamo qui che n\ -f- rci dà 



1 . 1 COS £ £ 2 



la somma delle lunghezze di tutti quei lati di ri che corrispondono ai 

 segmenti J x , J 2 , ... , J q , e che le lunghezze degli archi di C sottesi da 

 tali lati sono date precisamente da J x , ... , J g . Di più, ogni termine della 



somma 2_J t è maggiore 0 uguale al termine corrispondente di ri x -\-ri 2 ^ 

 1 



e la differenza 2J t — (n[ -f- ri 2 ) non può superare L — ri e quindi nep- 

 Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Seni. 4 



