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Costruiamo ora, per ogni 4 m , un segmento J m , di lunghezza tripla e- 

 avente il centro in comune con J m . avvertendo però di sopprimere quelle 

 sue parti che eventualmente venissero a trovarsi fuori di (a , b). Per 

 tale sistema, dimostriamo che, se à è un intervallo di (a , b) avente almeno 

 un estremo esterno a tutti gli intervalli J, è F(ó)<^0. Osserviamo che 

 quello dei due estremi di ó' che è esterno a tutti i J risulta anche esterno 

 a tutti i J. Se, allora, l'altro estremo non è interno a qualche J, la pro- 

 posizione scende dalla proprietà d). Nel caso contrario, detto J m l'intervallo 

 a cui quest'altro estremo è interno, dovrà essere ó J m (per il modo nel 

 quale si è costruito J m e per essere un estremo di 6 esterno a J m ); e questa 

 disuguaglianza mostra che, se d non contiene dei J di indice <Cm, deve 

 aversi F((f)<0, per la definizione stessa di J m . Che se poi, di tali 

 intervalli, à ne contensse almeno uno, detto J m < quello di indice minore 

 (m' <Cm). dovrebbe essere F(<?) < 0 per la stessa definizione di J m , . È 

 bene osservare, per il seguito, che è 2J m ^L?>24 m , e che, se i J non 

 esistono (il che avviene solo se non esistono neppure i J), la F(J)<0 ri- 

 sulta sempre verificata. 



2. Sia C una curva continua e rettificabile, di lunghezza L e di estremi 

 (primo e secondo) A e B (i quali coincidono se la curva è chiusa). Detto P 

 un punto arbitrariamente scelto in C , si indichi con s la lunghezza del- 

 l'arco AP di C; detto poi P' un altro punto di C , si indichi con PP' tanto 

 la corda che congiunge P e P' quanto la lunghezza della corda medesima. 

 Su ogni corda PP', si dirà senso positivo quello che va dall'estremo che 

 precede a quello che segue, nell'ordine stabilito dal senso positivo della 

 curva. Date due corde PP' , P_,PJ , diremo loro angolo quello, compreso fra 

 0 e 7i (estremi inclusi), delle loro direzioni positive, e lo indicheremo 

 con «(PP' , PjP[). Ciò premesso, si fissi, sulla cnrva C, un sistema di 

 punti A = P (,,) < P C1) < P <2) < - < P ( *»> == B (') e si consideri la poligo- 

 nale ti inscritta in C e avente questi punti come vertici successivi. Si in- 

 dicherà con la stessa lettera n anche la lunghezza di tale poligonale (lun- 

 ghezza < L). Si prendano a considerare un lato generico di ti , P (r -'P <r) , 



e l'arco P <r - 1) P (r) di C . Dette s ir ~ l) , s (r) , le lunghezze degli archi P^ > P (r - 1) , 



P <0) P Cr) , ad ogni punto dell'arco P Cr-1) P (r) viene a corrispondere un punto, 

 ed uno solo, del segmento (s (, ' _1) ,s (r) ), e viceversa, se si prende, per corri- 

 spondente di un punto P, il numero s che misura la lunghezza di P (0) P. 

 Detti r)' = (s,s') e PP' un segmento qualsiasi non nullo di (ò ,(r_1) , s lr1 ) eia 



(') La scrittura P<Q significa che, su C, P precede Q. 



