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mite del rapporto fra la corda e l'arco di una curva rettificabile tende quasi 



dappertutto all'unità, e deducendo infine la voluta proposizione dall'equa- 



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zione ( jzj ~^f^f") = * ^ a nos ^ ra dimostrazione è più diretta di quella 



del Faber, in quanto non ha bisogno di passare per le proposizioni inter- 

 medie sopra ricordate ; e serba, inoltre, un carattere puramente geometrico. 



1. Sia F(ò) una funzione definita per ogni intervallo non nullo ó 

 di (a , £), e sempre continua: in altre parole, la F(ó) è una funzione degli 

 estremi x x e x 2 di S, definita e continua in tutto il campo determinato 

 dalle disuguaglianze x, <! x 2 , a x 1 , x 2 b . Ad ogni punto di questo 

 campo corrisponde un ó non nullo di (a , />), e viceversa. Sia E l' insieme 

 dei punti del campo detto, nei quali è F(à) > 0 ; e indichiamo con / il li- 

 mite superiore della differenza x 2 — x x su E . 11 sottogruppo di questo in- 

 sieme, definito dalla disuguaglianza x 2 — x x è chimo ; in esso, per- 

 ciò, x 2 — x x raggiunge il suo massimo. Fra i punti di massimo, si consi- 

 deri quello per il quale x x è minimo, e si indichi con Jy l'intervallo di 

 (a , b) che gli corrisponde. J x è dunque il più a sinistra dei massimi in- 

 tervalli à per i quali è F(ó) _> 0: e perchè esista, è necessario e basta che 

 esista almeno un ó per il quale la F(ó) >. 0 risulti verificata. Sia poi J 2 il 

 più a sinistra dei massimi intervalli ó che hanno al più in comune con J x 

 un estremo e per i quali è F(S) 3> 0 ; sia ancora J 3 il più a sinistra dei mas- 

 simi intervalli ó che hanno al più un estremo in comune con J x , e così 

 pure con J 2 , e per i quali è ancora F(ó) .> 0 ; e così via indefinitamente, 

 o finché la determinazone dei J m è possibile. Si ottiene così un numero 

 finito o un'infinità numerabile di intervalli J x , _/■> , ... J m , ... i quali go- 

 dono delle seguenti proprietà: a) due qualunque di essi hanno al più un 

 estremo in comune; b) indicando con lo stesso simbolo J m anche la lun- 

 ghezza dell'intervallo, è J m ^_J m+ì ; c) è F(J m ) inO; ci) se ò è un in- 

 tervallo qualunque di (a , b) che non coincide con nessun J m e che ha en- 

 trambi gli estremi non interni ai J m . è F(<f)<0. Per dimostrare questa 

 ultima proprietà, osserviamo che uno qualsiasi dei ó, che qui si conside- 

 rano, non può contenere, di un J m , più dì un punto senza contenerlo inte- 

 ramente; ed allora, se ó contiene qualche J m , detto m il minor indice dei J 

 interni a d, ne viene F(d)<0 per la definizione stessa di J^. Se poi ó 

 non contiene nessun J m , deve essere F(S) < 0 perchè, altrimenti, i J m sa- 

 rebbero in numero infinito, si avrebbe sempre J m > ó e la 2J m sarebbe 

 divergente, mentre le sue somme parziali sono sempre b — a. Il gruppo 

 dei J m , così determinato, lo diremo sistema degli intervalli J , relativo 

 alla funzione F(ò) e all' intervalto (a , b). Ricordiamo che questo sistema 

 esiste effettivamente sotto la sola condizione che esista almeno un ó tale 

 che P(cT) >l 0 . 



