— 22 — 



Matematica. — Successioni di curve e derivazione per serie. 

 Nota I di Leonida Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



Mi propongo di dimostrare il seguente teorema : 



Se Ci , 0 8 ••• , C„ , ... è una successione di curve continue, rettifi- 

 cabili, tendenti ad un'altra curva, continua e rettificabile, C, in modo che 

 la lunghezza della C„ tenda a quella, supposta finita, della C . le tangenti 

 della C„ tendono in misura alle tangenti della 0 . 



Questa proposizione permette di dimostrare che : 



a) Sotto le stesse ipotesi, è 



P F{x . y , z . se' , y' ,Y) ds„ — > J F(x ,y , z , x . y' . s') ds . 



dove la F soddisfa a certe condizioni, che saranno precisate più innanzi 

 (n. 6), le quali sono più generali di quelle sotto cui tale proposizione fu 

 già da me stabilita altrove, per via del tutto diversa (')• 



b) Supposto: 1°) che la successione di funzioni, date su (a_, b), 

 Ui(x) , u 2 (x) , ... , u n (x) , ... converga quasi dappertutto verso una funzione 

 u(x)\ 2°) che la lunghezza della curva y = u„(x) tenda- a quella, sup- 

 posta finita, di y = u(x); 3°) che la successione delle derivate (consi- 

 derate là dove esistono) u[(x) , u' 2 (x) , ... . u' n (x) , ... sia quasi dappertutto 

 convergente; è quasi dappertutto lim u' n {x) — u(x) . Come caso particolare 



00 



si ritrova il teorema dato recentemente da G. Pubini (*): se u(x) = ^_ u n (x) 



i 



è una serie convergente di funzioni monotone, definite in {a , b), ivi è 

 quasi dappertutto lecita la derivazione per serie. E vogliamo notare che 

 di questa proposizione si ha così una dimostrazione diretta, indipendente 

 cioè dall'integrazione per serie e dal concetto d'integrale. 



Per giungere al primo teorema sopra enunciato, riprenderemo la pro- 

 posizione, dovuta a H. Lebesgue, secondo la quale una curva continua, ret- 

 tificabile, ha tangente quasi dappertutto; dandone una dimostrazione indipen- 

 dente dal concetto di misura e da quello di integrale. Già in questo senso 

 la dimostrazione della proposizione detta fu ripresa, nel 1909, da G. Paber ( 3 ), 

 il quale raggiunse lo scopo dimostrando .dapprima che una funzione a rap- 

 porto incrementale limitato ha derivata quasi dappertutto, e poi che il li- 



(') Questi Rendiconti, masfo-io 1912. 

 ( a ) Questi Rendiconti, febbraio 1915. 

 ( 3 ) Math. Ann., 1910 (B. 69). 



