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conducono ad altrettante C 4 , senza punti multipli ('), i cui flessisi distri- 

 buiscono precisamente in sei catene del tipo richiesto. Infatti ciascuna di 

 quelle C 4 è invariante pel gruppo ottaedrico delle proiettività rappresen- 

 tate da 



dove ijk indica una permutazione degli indici 1, 2, 3; e su di essa vi 

 sono già quattro flessi appartenenti a una catena, siano A x A 2 A 3 A 4 . Ogni 

 ulteriore flesso F si può ottenere da uno qualsiasi di questi quattro, per es. 

 da Ai mediante una proiettività ti del gruppo, perchè nell' ipotesi contraria 

 dovrebbe A! essere unito in una proiettività non identica del gruppo, che 

 muterebbe in sè anche la tangente in k x e quindi A 2 , A 3 e A 4 , il che è 

 assurdo: quella proiettività n muterà dunque la catena A, A 2 A 3 A 4 in una 

 analoga a cui appartiene il flesso F . 



Le cinque C 4 trovate sono a due a due proiettivamente distinte: in- 

 fatti gli invarianti A e B , rispettivamente del terzo e del sesto ordine nei 

 coefficienti, per una quartica rappresentata dalla (6) valgono ( 2 ) 



Se due fra quelle cinque C 4 si potessero trasformare l' una nell'altra me- 

 diante una proiettività, dovrebbe l' invariante assoluto 



acquistare lo stesso valore per due diverse radici della (8), e quindi, data 

 l'irriducibilità di questa equazione, per tutte le sue radici. E si verifica 

 che così non è, osservando che i resti delle divisioni di A e di B pel primo 

 membro della (8) non dànno un rapporto costante. 



Concludiamo dunque: esistono cinque C 4 sema punti multipli,, pro- 

 iettivamente distinte J i cui flessi si distribuiscono in sei quaterne (catene) 

 in modo che i quattro flessi di ciascuna quaterna sono vertici di un qua- 

 drangolo, ogni flesso essendo la residua intersezione della C 4 colla tan- 

 gente nel flesso che cade nel vertice precedente. Esse sono invarianti per 

 un gruppo ottaedrico di proiettività: le loro equazioni si ottengono 

 dalla (6), ponendo per q una delle radici della (8). 



(') Infatti quelle cinque C* sono irriducibili; e la sola G 4 irriducibile rappresentata 

 dalla (6) e dotata di punti doppi si ottiene per p = oo. 



( a ) Cfr. Salmon, Traité de geometrie analytique : courbes planes (trad. par 0. Chemin, 

 Paris 1903); ved. il num. 299. 



1 + 9 p 2 -f 6 £ 3 e ? 3 (1 — 3 e 2 +2 e 3 ). 



A?_ (1 + V-f-6 g 3 ) 2 

 B~~ q 3 (1 — 'óq* + 2q 3 ) 



