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cioè 



(1) (l- l)c 4 — (2+ 2)c 3 — 6(2 — l).c* + (2 + 2) c + 2 — 1 = 0. 



E poiché dev'essere ad — bc = d(l + c 2 ) + 0 , e quindi c 2 + — 1, do- 

 vremo supporre 2 tale che quest' uguaglianza possa soddisfarsi altrimenti 

 che per c = i ( i = f/ — 1 ) : ossia sarà 



14= U ^" 7 12? , cioè 17 2 2 — 282 + 20 + 0. 



Volendo inoltre che l'equazione trasformata sia simmetrica in y[,y[< do- 

 vremo poi porre d = =t 1 ; otteniamo, così, 



[(52-2)^ + 8(2-1) e* + 6(2 — 2) c 2 -8(2-1) £ + 52-2] (^ + ^) + 

 -+-6Q2 -2) ^ — 8(2—1) c 3 + 2(3 2 + 2)<? t + 8(2— 1) tf + Z — 2] y{» ^ 2 — 

 - 62(1 + e") (yl 2 + y' 2 2 ) y? + (2 + 2) yS 4 = 0 . 



Poniamo infine 



y'i'-y'2'y3 = ut x : u*% • s 3 , 



per ottenere un'equazione simmetrica nelle tre nuove coordinate : basterà 

 determinare u in modo che sia u 4 M = 2 + 2 , u 2 F = — 2(l + <? 2 ), dove 

 M e P indicano i coefficienti di y[ 4 + ^ > e di 6y[ 2 y' 2 2 nell'ultima equa- 

 zione scritta. E, affinchè ciò sia possibile, è necessario e sufficiente (') 

 che sia 



M 2 + 2 



P 2 2 2 (l+e 2 ) 2 



(2) 



=0. 



Ora, tenuto conto della (1), quest'equazione si può, con successive ridu- 

 zioni, trasformare nella 



(3) (2 + 2) (9 2 3 — 45/ 2 + 60 2 — 36) (1 — 2c 2 + c 4 ) + 



+ (77 2< — 44 2 3 — 116 2 2 + 224 2 — 96) (c — c s ) + 

 + (2 — 1) (3 2 — 2) (— 12 2 2 + 16 2 — 16) c 2 = 0 . 



Per cercare le condizioni di compatibilità di questa equazione colla (1), 

 poniamo c— ~ =0, cosicché la (1) e la (3) divengono rispettivamente 



(l'> (2 — i) d 2 — (2 + 2) 6 — 4(2 — 1) = 0 



e 



(3') (2 + 2) (9 2 3 — 45 2 2 + 60 2 — 36) 0 2 — 



(772* — 442 3 — 1162 3 + 2242 — 96) 6 — 4(2— 1) (32 — 2)(32 2 — 42 + 4) = 0. 



(') La condizione è anche sufficiente, poiché non possono M e P essere contempo- 

 raneamente nulli (la quartica conterrebbe allora doppiamente la retta y' s = 0, il che è 

 assurdo). 



