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Imponiamo ora l' ulteriore condizione die la G 4 sia trasformata in sé 

 dalle omografie cicliche del quarto ordine che trasformano in sè il quadran- 

 golo semplice considerato, condizione che si traduce nelle 



( ll + 3% — ±l 2 4 = 0, 



( 2 il -J- li l 2 — lì / 3 — 2 li 1$ == 0 ; 



a cui si soddisfa assumendo I, ,4, / 3 proporzionali a 2, 3, 1, oppure a l. 1, 1,. 

 essendo l una quantità qualunque ( 2 ). 



Posto ora 



Vi '■ Vi ■ ys = #i -{- Xi : x 2 + x 3 : x 3 -j- a?! , 

 l'equazione della C J diviene rispettivamente, nei due casi. 

 y* — 2yl y-i — 2yi y\ — y\ — yì y\ + y\yl = 0 , 



(5/ -2) (# + y«) + 6(*-2) ?/f^-8(/ - 1)^ 2/2 (jf? — 2/1) — 



-6%r+Ì ^-f-(f4- 2)2/l = 0. 



La prima di queste due equazioni rappresenta una quartica avente un punto 

 doppio, quartica che escluderemo dal seguito delle nostre considerazioni ; ed 

 escluderemo pure la quartica rappresentata dalla seconda equazione dove si 

 faccia 1=1, quartica costituita dai quattro lati del quadrangolo semplice 

 considerato; invece la stessa equazione per 1+ 1 rappresenta quartiche tutte 

 irriducibili. 



Poniamo ora 



yi ■ y<i ■ Ih = ay'i + by[:cy[-{- dy[: y\ , 



con 



ad — bc =f= 0 , 



e cerchiamo anzitutto di far scomparire dall'equazione trasformata le po- 

 tenze dispari delle coordinate. Dovranno allora soddisfarsi le condizioni : 



Iab -\- ed = 0 

 (5/ - 2) (a 3 b-{- c 3 d) — 2(1 — 1) (a 3 d — be 3 + Sa 2 be — •òac 2 d) + 

 + 3 (/ — 2) (a 2 ed + abe 2 ) == 0 



/ (5/ — 2) {ab 3 + cd 3 )—2(l—l) {b 3 c — ad 3 -\- k òab 2 d — 3bcd 2 ) -f- 

 \ +3(^ — 2) (b 2 ed -\- abd 2 ) = Q . 



Posto a = 1 , risulta b = — ed; e quindi, poiché d è =j= 0, le ultime 

 due condizioni si riducono all'unica 



(U — 2) {e 3 — e) — 2 (l — 1) ( 1 — 6c 2 -f e 4 ) -f- 3 (/ — 2) (e — e 3 ) = 0 , 



(') Si puc"> supporre che £ sia finita, perchè la C*, per cui Z, : Z a : ? 3 = 1 : 0 : 0, non ha 

 importanza per le nostre ulteriori considerazioni. 



