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essendo m ed n due quantità positive qualunque. Moltiplico pel reciproco 

 del secondo fattore, ed ho 



/ 1 \ m / ÌX"-*-' 



< 3 > ( 1 +»)<( 1 + ' i ) • 



/ 1 \ m 



Perciò esisteranno il limite superiore finito dei valori di (1-|- — I , ed il 



/ ÌY 1 * 1 



limite inferiore dei valori di ll-j--| ; e siccome, per m = n, il rap- 

 porto delle due quantità (3) è 1 + lf?h il cu i limite inferiore è 0, segue 

 che il limite superiore dei valori del primo membro della (3) è eguale al 

 limite inferiore dei valori del secondo membro della (3); detto « e » questo 

 limite comune, si avrà, per ogni valore positivo di m, 



(1 -f l/m) m < e < (1 + l/m) m + l . 



Siano ora x x e x 2 due quantità positive. Posto m = Xxj{x% — «r,), e 

 presi i logaritmi, sarà 



Log — <. Log e <. — Log — , 



OO2 *~ ~ 00\ &i *h% ~~~~ <%i 0C\ 



da cui 



L °szr< — - — L °g e . > — ; — L °g e ; 



e, chiamando ,zr un valore medio fra x x e x 2 , 



Log- — = Log e . 



Ma il primo membro vale Logx 2 — Log Xi = d Log x ; e #2 — Xi = dx : 

 onde la formula VII. 



Le formule (V)-(VII) sono susseguite dalla frase « ove x è un valore 

 medio » . Si può far dire ciò dalla formula stessa, modificando le notazioni. 



Sia x un intervallo (estremi inclusi, per esempio). Pongo per defini- 

 zione : 



dx = Yx — li x , 



cioè chiamo dx l'ampiezza dell' intervallo, differenza fra i suoi limiti supe- 

 riore ed inferiore. Allora, se f è una funzione definita nell' intervallo x , 

 fx è l' insieme dei suoi valori ; se f è reale e continua, fx è un intervallo, 

 e dfx ne è l'ampiezza. Si avrà allora: 



(V) à(x m ) s mx m ~ 1 àx 



(VP) dj/cc e dx/(2)/x) 



(VII') d Log x e Log e x dx/x . 



I d sono tutti, con questa convenzione, quantità positive, perciò 



d(l/#)"==(d£C)/# ! 



perdendo il segno. 



