Matematica. — Approssimazioni numeriche. Nota del Corri- 

 spondente G. Peano. 



Le quantità, o numeri reali, su cui si opera in pratica, sono in generale- 

 date solo per approssimazione. Quindi è necessario, conoscendo il grado di 

 approssimazione nei dati, di saper determinare l'approssimazione che risulta 

 in un calcolo su quei dati. 



TI calcolo differenziale fornisce una regola semplice per risolvere il 

 problema, colle formule del differenziale totale, del tipo 



*/(a>,y)=^-D r /(a?.,y) da? + T) t f\x,y) dy , 



ove f(x,y) è una funzione delle due variabili x e y, D 1 f e D 2 f sono le 

 sue derivate parziali, dee e dy sono le differenze fra i valori veri ed i valori 

 approssimati di x e y, e df(x,y) è la differenza corrispondente fra i valori 

 della funzione. 



Questa regola del differenziale totale fu usata in tutti j tempi, e la 

 è sempre nelle matematiche applicate, per risolvere il problema delle ap- 

 prossimazioni. Però, se per i e in D, f(x , y) e D 2 f(x , x) si intendono 

 i valori veri, o i valori dati per approssimazione, di quelle due quantità, 

 la formula non è esatta, ma deve essere completata con infinitesimi d'ordine 

 superiore. Essa si usa però nelle applicazioni pratiche, poiché, come dice 

 il Serret. « Tinexactitude ne peut avoir aucune influence dans les applica- 

 tions que l'on en fait » . 



Guyou, nei « Nouvelles Annales de mathématiques » 1889, attribuì nella 

 formula considerata, ad x e y, dei valori medii fra i veri e gli approssimati, 

 e la formula diventa esatta. La formula, così intesa, non è altro che il 

 teorema del valore medio, fondamento del calcolo differenziale, stato enun- 

 ciato da Cavalieri nel 1635, per le funzioni d'una variabile. 



Questa applicazione trovasi pure nelle mie Lezioni di analisi infini- 

 tesimale, Torino 1893, tomo 2°, pp. 146-149. Non veggo però negli altri 

 trattati di Analisi alcun cenno di questa semplice ed elegante applicazione 

 delle regole di derivazione alla teoria delle approssimazioni, di tanta impor- 

 tanza pratica. 



Nella presente Nota espongo le regole per le approssimazioni nume- 

 riche, sotto forma elementare, senza presupporre il calcolo differenziale; dò 

 a queste regole la forma di regole di derivazione, il che facilita la memoria. 



