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le formole che definiscono un certo gruppo del Lie; supporremo che l'in- 

 versa d'ogni trasformazione del gruppo appartenga ancora al gruppo, e, al- 

 meno per ora, che il gruppo stesso sia finito. 



Se nel campo (a) di esistenza del gruppo le <p risultassero polidrome, 

 supporremo fatti gli opportuni tagli per ripristinare la monodromia. 



Le a sieno scelte in modo che, per a x = a 2 = - = a^ = 0, le funzioni y> 

 si annullino identicamente, si abbia cioè la trasformazione degenere x' r = 0; 

 ed infine a x , ... a H siano i parametri della sostituzione identica. Indicheremo 

 la prima col simbolo 0 . la seconda col simbolo I . 



Rappresenteremo inoltre la trasformazione (1) col simbolo T o con il 

 gruppo di lettere (ai ... chiameremo queste la « matrice » della trasfor- 

 mazione. Potrà talvolta accadere che le a„ si spezzino in r sistemi : le prime 

 sole compaiano nella <f x ; le a del secondo sistema compaiano sole nella <p 3 , 

 e così via. Tale è il caso delle sostituzioni lineari. 



Per prodotto di due matrici (ai ... <2 V ) , (b\ ... b s ) , intenderemo la ma- 

 trice G- ==(<? x ... d) , corrispondente al prodotto delle due trasformazioni; 

 come somma di due matrici A , B , intenderemo la matrice 



Supponiamo ora che le a sieno tutte funzioni d'una variabile s ; la ma- 

 trice A sarà funzione di z: 



G = («i -f- b x , a% -j- b 2 , ... , -f- b H ) = A -f- B . 



A = A(*). 



Conveniamo ancora di indicare con mA la matrice 



C = (ma x , , ... ma H ) . 



2. Consideriamo ora le due matrici 



|(A(* + A>.A(*)->-l) 



Esse esistono effettivamente, poiché sono rispettivamente eguali a 



ed essendo 



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per le definizioni date, null'altro che 



k'=(a'i(3).a 2 (2),...a\(s)), 



