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-esisteranno i limiti suddetti: li chiameremo, rispettivamente, derivata a si- 

 nistra, e derivata a destra della matrice A, segnando 



■ ! A « ; A <- 



In modo perfettamente analogo si può definire l' integrale d'una trasfor- 

 mazione. Procedendo nel solito modo, si divida l'intervallo (a , b) in n parti 

 hi , ho , h 3 , ... h n ; sieno £\ , f 2 , ^ , ... , £ n , punti interni ad esse; formiamo 

 i due prodotti 



(l+/ !l A(^))(l-i-A 2 k.{U ) (i + h A(£ 3 ) ) 



(I -f-7i„ A(U) (i + A*-ì A(^-,)) (I + h„- t A(f M _,)) 



Se, scegliendo in un modo qualunque gli intervalli A, purché tendenti 

 a zero al crescere di n, i due limiti di quei prodotti esistono, noi diremo 

 d'aver formato gli integrali a destra, ed a sinistra. 



Come nell' integrazione delle sostituzioni, anche qui si può esten- 

 dere la maggior parte dei teoremi dell'ordinario calcolo integrale. Così, ad 

 esempio, diciamo che una trasformazione (o una matrice) A differisce da 

 una trasformazione (o matrice) B per meno di «, se 



I cì\ — b\ | <C £ i ■•• > 1 — <C £ • 



Avremo che, nel campo in cui le forinole di trasformazioni (1) sono definite 

 da funzioni y sviluppabili in serie di Taylor, scelto un valore s piccolo ad 

 arbitrio, ed un numero q , anche esso piccolo ad arbitrio, si potrà trovare un 

 numero ff, tendente a zero con e e q , tale che, per 



— Ji|<p, l'afa — fn| < Q 



— *i|< Q • j |«v — £ > 



sia anche 



\x[-$['[<a ,....,\x' n -? n '\<a , 



ove 



»?« =9r{%i — % , a, ... a,) ; = ••• f». > #i - év) ; 



sarà allora facile esprimere le condizioni di integrabilità d'una trasforma- 

 zione, servendosi della oscillazione della trasformazione stessa. 



3. Un'immediata applicazione si riscontra nella teoria di certe equa- 

 zioni differenziali; le potremo sempre supporre del primo ordine, senza le- 

 dere la generalità. 



Sia assegnato un sistema d'equazioni differenziali: 



y\ = fi{yi -y n ,x) 



