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 Noi potremo scriverle sotto la forma 



y x (x + dx) = y x {x) + dx f x 



I 



Sotto tale aspetto, l'equazione differenziale appare come una trasforma- 

 zione che, operando sugli n valori y x , ... y n , ci dà i valori y x (x -f- dx) , .... 

 Se dunque le espressioni 



y r -j- dee /" r 



sono tali da considerarsi come trasformazioni infinitesime d'un certo gruppo 

 operante sulle variabili y x , ... y n , vediamo proprio che ci troviamo nelle con- 

 dizioni da noi date per la definizione di integrale: Occorre perciò che esista 

 un certo gruppo di trasformazioni del tipo (1), tale che la trasformazione 



y\ = y\ -\- dx fi , ... , y' n = y„ -j- dx f n 



possa considerarsi eguale alla trasformazione definita dalla matrice 



1 -f- dx k{x) . 



In tal caso, l'integrazione della trasformazione ci condurrà alla cono- 

 scenza degli integrali della (2). 



Si può indi passare all' integrazione delle trasformazioni nel campo dei 

 valori complessi della variabile z = x-\-iy: ed allora si vede che i valori 

 che assumono n integrali della (2), dopo un giro attorno a qualche punto 

 singolare, sono precisamente legati ai valori iniziali da relazioni del tipo (1), 

 ove alle costanti si assegnino convenienti valori. 



A tali equazioni, seguendo il metodo usato dal prof. Volterra nei suoi 

 lavori, si potranno estendere, generalizzandoli, i resultati noti sulle equa- 

 zioni differenziali lineari (che formano un caso particolare di questa classe). 



4. Lo stesso concetto d' integrazione si può applicare anche ad altri 

 casi, in cui non sono soddisfatte le condizioni gruppali ora accennate: esso 

 permette di ricavare da integrali di equazioni differenziali del primo ordine 

 e con una funzione incognita, gli integrali di sistemi d'equazioni differen- 

 ziali; e ci permette anche la trasformazione di equazioni integro differenziali 

 in equazioni integrali. 



Per dare un esempio, consideriamo l'equazione differenziale-funzionale 



Sia co il valore che la <p assume per x = 0. Con lo sviluppo in serie, 

 è facile vedere che essa ammette una sola soluzione che ammetta uno svi- 

 luppo di Laurent nell' intorno di x = 0 ; ed in tal caso, anzi, lo sviluppo- 



q>'(x) = <p{ccx) 



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