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di Laurent si riduce a quello di Taylor. Quindi, una soluzione della detta 

 equazione, se non ammette uno spazio lacunare comprendente lo zero e 1' x, 

 rappresenta una funzione olomorfa: e precisamente 



n . n — 1 

 00 - „n 



(p(x) = co V Ji_ __ - w • g(x), 



*o~ ni 



ove co è il valore <f(0) . 



Ora, a questo stesso risultato si sarebbe giunti con Y integrazione del- 

 l'operazione Sìfp(x) — (p(ax). La data equazione si può infatti scrivere: 



<p (x) = Sì<p{x) ; (f(x -j- dx) = <p(x) -f- dx M<p{x) ; 



e se notiamo che la Sì è un'operazione lineare, e quindi distributiva rispetto 

 alla somma, noi avremo successivamente 



(p(x -j- 2 dx) = <p(x -f- dx) -f- dx Sìg>(x -f- dx) — 



= <p\x) -f- 2dx Sì<p(x) -\-Sìdx • Sì ì <p(x) , 



e così via. 



Ponendo poi x = 0 ed integrando l'operazione Sì nell'intervallo (0,x) r 

 si troverebbe appunto che 



, m , ^(0) | xSHxco(O)) xP-(x(SÌ(xu>(0)))) 



che è proprio la soluzione assegnata. 



Se, invece di una sola equazione, si avesse il sistema 



<f' s {x) = y a sr <f r (ax) (s -= 1 , 2 , ... x) 



i 



noi potremo dire che, chiamati <w r i valori <p r {0) , ed imponendo alle g> le 

 stesse condizioni di analiticità, l' integrazione del sistema si riconduce a 

 quella dell'equazione. 



Infatti, se indichiamo con Sì(x) l'operazione che dai valori g>i(x) , ... g> n (x) 



n n 



ci fa passare ai valori Y" a ìr cp r (ax) , y_ a ìr <p r (ax) , , si vede facil- 



i i 



mente che dai valori y r (0) passeremo ai valori q> r (x) proprio mediante l'ope- 

 razione: 



x- . x ■ Sì(x) x ■ Sì(x) ■ Sì 2 {x) . 



I + n+^T~ + 3! + '"' 



in completa analogia con la formula dianzi scritta. 



Se notiamo inoltre che, scelti n gruppi di valori iniziali, linearmente 

 indipendenti, 



a>[,... m' n ; (o'i , .... to'* ; .... oo[ nì . .... o^ 1 , 

 Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 12 



