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Matematica. — Successioni di curve e derivazione per serie. 

 Nota II di Leonida Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



Nella Nota precedente (*) stabilimmo una proposizione sulla deriva- 

 zione per serie che ora vogliamo generalizzare, nel senso di togliere la con- 

 dizione della convergenza quasi dappertutto della successione 'delle derivate. 

 Dalla generalizzazione così ottenuta dedurremo alcune conseguenze relative 

 al comportamento, per n — > co, dell'integrale di una funzione dipendente 

 dai valori della x, della u n (x) e della u' n (x). Daremo, infine, una nuova 

 dimostrazione del teorema di G. Fubini. già dimostrato nell'ultimo numero 

 della Nota precedente. 



1. Stabiliamo la seguente proposizione: 



« Se la successione di funzioni u x {x) , u 2 (x) . ,.. , u n (x) , ... , date 

 in (a , b), converge quasi dappertutto verso una funzione u(x) ; se, inoltre, 

 la lunghezza, supposta finita, della curva y = u„(x) tende a quella, pure 

 finita, di y — u(x) , allora la successione delle devivate 



u[{x) , u'z{x , ... , u' n (x) . .. , 



considerate solamente là dove esistono, converge in misura verso la de- 

 rivata u'(x) ». 



Ripetendo qui le considerazioni fatte al principio del n. 7 della Nota I, 

 abbiamo che le curve C„ (n = 0 , 1 , 2 ...), ottenute aggiungendo ai punti 

 di y = u n (x) (u 0 (x) = u(x) ) i segmenti paralleli all'asse delle y che hanno 

 per estremi (x,u n {x — 0) ) e (ce , u n (x) ) , (x , u n (x) ) e ( + 0)) . 



convergono uniformemente verso la C 0 , per n — > oo . e le tangenti t n 

 della G„ convergono in misura verso quelle t 0 della C 0 . e ciò secondo la 

 corrispondenza fissata dalla rappresentazione analitica simultanea delle C„: 



(1 ) x = f n {s) , y = g n {s) , z = h n (s) , (0 < s < L 0 ) (n = 0 , 1 . 2 , ...) , 



dove ~ s dà la lunghezza dell'arco della C„ che va dal suo primo estremo 



al punto corrispondente ad s, essendosi indicata con L„ la lunghezza di 

 tutta la curva C„. 



Scelti ad arbitrio due numeri positivi er ed e , indichiamo con E e un 



insieme chiuso di punti di (0 , L e ), di misura > L 0 — e, sul quale la tan- 



0) Questi Rendiconti, gennaio 1916. 



