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gente alla C 0 esista e varii con continuità, facendo con la direzione positiva 

 dell'asse delle x un angolo sempre minore, in modulo, di — . 



di 



Ai punti di E e corrispondono, sulla C 0 , dei punti che formano un in- 

 sieme di misura (contata sulla curva stessa) uguale a w(E e ) e che si 

 proiettano ortogonalmente sull'asse delle x in un insieme I £ di misura 

 >(i — a) — <?. L'insieme l s è chiuso e su esso la u(x) varia con conti- 

 tinuità ed è perciò uniformemente continua; possiamo dunque fissare un ó^>0 

 tale che sia \u'(x) — u'(x 1 )\<C.g per ogni coppia di valori x , x x , appar- 

 tenenti a I s e soddisfacenti alla disuguaglianza x — x x \ <C à ■ Indichiamo 

 con (fi un numero positivo <^ e e tale che si abbia 1 tg a — tg ai K o" 

 tutte le volte che è |« — «i|<C°'i e inoltre | « | j< del limite superiore dei 

 moduli degli angoli che le tangenti alla G 0 nei punti corrispondenti a E e 

 formano con la direzione positiva dell'asse x . Determiniamo poi il primo 

 intero positivo n x , a partir dal quale sia per ogni n (n^> ni) : 1°) L n < 2L 0 ; 

 2°) la distanza fra due qualunque punti corrispondenti di C 0 e G n <^ó ; 

 3°) w(E e , n ) > m(E e ) — e, dove E £ ,„ indica il componente di E 6 nei punti 

 del quale la tangente t n alla C„ esiste e fa, con la corrispondente tangente t 9 

 di C 0 , un angolo <[ o", • Ai punti di E s ,„ (n^>ni) corrispondono, sulla C„, 

 dei punti che, proiettati ortogonalmente sul segmento (a , b) . danno un in- 

 sieme I s ,„ di misura > (b — a) — 4t ; e su tale insieme la derivata u\{x) 

 esiste finita. Indicato con (I £ . I s ,„) l'insieme dei punti comuni a I £ e I £)M , 

 insieme di misura > (b — a) — 5f, sia x un suo punto" qualunque. Al 

 punto P^' di G„ , di coordinate x e u n (x) , corrisponde, secondo la rappre- 

 sentazione (1), il punto P lM) = (a; Cn) , u(x M ) ) di C. E poiché la distanza 

 fra P™ e P <M) è <<f, si ha \x — x (n1 \<ó e quindi \u\x) — u'(x M ) |< <r. 

 Essendo poi \u' n (x) — u'(x lnì )\ < o\ risulta \u'(x) — u'Jjè) j < 2ff , e questa 

 disuguaglianza è verificata su tutto (I 8 ,I S .„), di misura (b — a) — he, e 

 per ogni n^> n x . Essendo s arbitrario, indicato con I n l' insieme di tutti i 

 punti di (a , b) ove essa è verificata per un determinato n . si ha 

 m(I n ) — > (b — a) per n — > oo . Ciò prova che u' n (x) converge in misura 

 verso u'(x)., su tutto (a, b). 



2. Alle ipotesi del teorema del numero precedente aggiungiamo l'as- 

 soluta continuità della u(x) e dimostriamo che, se E è un insieme misura- 



bile di (a , b) , l'integrale \u' n (x)\clx tende a zero con la misura di E, 



e ciò indipendentemente dall'indice n. In modo più preciso, dimostriamo 

 che, preso un numero positivo s qualsiasi, è poi sempre possibile di de- 

 terminarne un altro <?, tale che sia 



