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per ogni insieme misurabile E , di (a ,b) , di misura <C à e per ogni n 

 da 0 all' oo . 



Cominciamo con l'osservare che, avendosi \u' n \ <C -f- u' n 2 , è 



( E l<| dx <J^ \/\ + u,', 2 dx . 



Fissato un numero positivo r\ , determiniamo ò x > 0 in modo che, per 

 ogni insieme misurabile E tale che sia w?(E)<<?i, si abbia 



(2) 



fi + u' 2 dx < ij ; 



questa determinazione è possibile in base ad una proprietà fondamentale 

 degli integrali. Siccome u' n {x) tende in misura a u'(x) , anche ]/\-{-u' n z tende 

 in misura a \/\ -\-u 2 e indicando con I„ l'insieme dei punti di (a , è) 



su cui non è |j/l-j-^' 2 — f/l + 1 — '/ > si ha, per ogni n^> di un 

 certo n, m(I n ) <C • 



Se E è un qualunque insieme misurabile di {a,b), è perciò 



f Ì\-\-u 2 dx = f j/l +^' 2 ^ + 6l 7 W ( E ) + M + f ^1 + u' n % dx , 



dove è |<?|<C1 , j | <d 1 , e E n indica l'insieme comune a E e I„. Se l'i; 



s — 



lo prendiamo <T — — - , abbiamo, per ogni n^>n, e per qualsiasi 



4(£ — «-{-1) 



insieme misurabile E , 



(3) X 1/1 ^ > Je 1/1 + % ' 2 ~~ 



Fissiamo il numero n in modo che sia anche, per ogni n ^> n , 

 L„<^L 0 -)- — . Avendosi, per l'assoluta continuità della m(ìc), 



L 0 = ( |/1-)-m' 2 ^ ( 8 ), mentre invece è P j/l -f- K z dx <lL n , 



(0 È infatti j |/l + _ j/i _|_ u '*\ < | tt / n M ' | , 



( 2 ) L. Tonelli, Sulla rettificazione delle curve (Atti della E. Accad. delle Scienze 

 di Torino, voi. XLVII, 1908); vedi anche Sulla lunghezza di una curva (ibid., voi. XLVIII, 

 1912). 



