si può allora scrivere, se con C(E) indichiamo il complementare di E 

 ) E t/T+C dx + j V l + < 2 dx < L„ < L 0 + -j = 



= Je 1/1+M " ^+X(E) t ' ^ + ■ 



ed anche, applicando la (3) a C(E), 



) e Vi + j? - -- < J e fi + u' 2 dx + - 



Da questa e dalla disuguaglianza (3) scende 



(4) 



] \/l-\-.u£ dx — \ fi -f- ^ 2 



dx 



per tutti gli insiemi misurabili E e per tutti gli n^> n. Tenendo conto 

 di (2), si ha dunque, se è «(E)<(f|, e per ogni n^>n, 



\/l -j- u' n 2 dx <C € , I \un\dx <^€ . 

 ^/E • ^/E 



Se ora si prende <J' <C ^i e in modo che l' ultima disuguaglianza sia 

 soddisfatta anche per i valori di n da 1 a n, la proposizione proposta ri- 

 sulta dimostrata. 



3. Quanto abbiamo or ora stabilito si può esprimere dicendo che gli 

 integrali delle u[(x) , u' 2 (x) , ... , u' n {x) , :.. sono in (a , b) equiassolutamente 

 continui', e per un teorema di G. Vitali (') si può concludere che nella 

 ipotesi dell'enunciato del n. I, e supponendo la funzione u(x) assoluta- 

 mente continua, si ha, per ogni insieme misurabile E di (a , b) e 

 per n — > oo , 



f u' n dx — > f u' dx , { \u' n \dx — > \ \u'\dx 

 ^/E ^E ^/E l E 



ed anche \come lo dimostra la disuguaglianza (4)] 



] j/l-f-^ 2 da; f |/l + u n dx . 



J E >E 



4. Sia f(x,y, y) una funzione delle tre variabrli x , y , y' , definita 

 e continua in ogni punto del campo 



, m <. # < M , — oo < <; -j- oo] ; 



(') G. Vitali, SuW integrazione per serie (Rendic. del Circolo matem. di Palermo, 

 ttomo XXIII, 1907). 



