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inoltre, sia tale che, fissato un numero l ^> 0 , si abbia, in tutti i punti 

 del nuovo campo [_a<x<b , m < ?/ <.M , \y'\ j£. l~\ , *f.(x , y , < L|/|, 

 dove L indica un numero positivo, invariabile. Abbiamo la proposizione: 



« Sé la successione di funzioni u x (x) , u 2 (x) , ... , u n (x) , ... , (to<? 

 su (a ,b) e sempre comprese fra m e M , converge quasi dappertutto verso 

 la funzione assolutamente continua u(x) , in modo che la lunghezza, sup- 

 posta finita ; della curva y = u n {x) tenda a quella, pure finita, della 

 y = u(x), allora, qualungue sia V x di {a . b), è, per n — > oo , 



f(x , u n (x) , u' n (x) ) dx — > I f(x , u(x) , u'(x) ) dx , 



a a 



ponendosi f(x , u n , u' n ) = 0 là dove la u' H non esiste finita, e parimenti 

 per la f(x ,u , u') ; e la convergenza è uniforme in tutto (a,b)*. 



Indichiamo con E (r) l'insieme dei punti di (a , b) nei quali la u\x) 

 esiste ed è, in modulo, non superiore al numero intero positivo r. Pren- 

 diamo r>/. In E (r> la f(x,u(x),u f (x)) risulta limitata ed esiste l' in- 

 tegrale J^ {) f( x » u ( x ) ' u '(%) ) dx ; nel complementare C(E Cr) ), per le ipo- 

 tesi fatte, è \f(x,u(x),u\x))\<ili\u'{x)\. e dalla integrabilità della 

 |w'(a?)| scende quella della f(x,u,u) in C(E (r) ). Questa funzione è così 

 integrabile su tutto (a,b). Altrettanto si dica per la f(x , u„(x) , u' n (x) ). 



Siccome, per r — > oo , è m(E (r ') — >b — a, possiamo scegliere un r t 



Ó 



in modo che sia w(E (r,) ) ^> (b — a) , essendo il ó quello stesso della 



a 



proposizione del n. 2. Poi, per la eonveigenza in misura della u' n alla u\ 

 fissato ad arbitrio un rj 0 v possiamo determinare un intero n x tale che, 

 per ogni n^>n t , l'insieme E»» 5 dei punti di E (?l) nei quali la u' n (x) esiste 



finita e soddisfa alla \u' n (x) — u{x)\^rj, abbia una misura ^> m(E lri) — -. 



Con ciò il complementare C(E ( n lì ) di E» 1 ' ha una misura << ó , ed ab- 

 biamo (n. 2) 



'6 , Cb 

 f(x , U n , U^) dx f(X , U , u) dx 



■J n. 



< 



< \,ro\f(x^n,Un)-f(x,U,u')\dX + L f lr0 \u n \ dx + L \ , r0 \A dx < 

 < Lcr») |/(# , , O — f{X , U , U f ) \ dx -\- 2 h € . 



J E» 



Siccome la f(x,y,y') è uniformemente continua nel campo limi- 

 tato , m<^<.M , |^'| < 2ri], possiamo determinare l'i; in 



