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modo che sia sempre \f{x,y.y') — f(x,y,y')\<Cz tutte le volte che è 

 \y — y\ — V » I?/ — y'\ — V- P er ia convergenza uniforme della u„(x) verso 

 la u(x) , la quale risulta facilmente dalle condizioni poste e da quanto si 

 è detto al principio del n. 1. possiamo allora trovare un n 2 ^>ni, tale che, 

 per ogni rc>ra 2 , sia, su E ( H ' -l) , \f{x,u n (x),K(x)) — f(x,u{x),u'(a;))\<Ce. 

 Dopo ciò abbiamo, per ogni n^> n 2 , 



rb ri 



f(x , u„ . u' n ) — f(x , u , ?/) 



Ja Jb 



dx 



<-*'(•* — a) -f- 2Le . 



e la medesima disuguaglianza vale anche se, al posto di b , negli estremi 

 superiori degli integrali, poniamo una x qualunque di (a , b) . Essendo « 

 arbitrario, la nostra proposizione è stabilita. 



Osservazione. — La proposizione ora dimostrata contiene come caso 

 particolare quella del n. 6 della mia Nota Sugli integrali curvilinei del 

 calcolo delle variazioni (Nota II) ( ] ) nella quale avevo supposto che tutte 

 le u n (x) , come la u{x) , fossero assolutamente continue e convergessero 

 uniformemente alla u{x) in modo che le loro lunghezze tendessero a quella 

 finita della y = u(x) ; inoltre, avevo supposto la f(x,y,y') tale che la 



funzione x' f{x , y . ~ j = , y , x' , y') soddisfacesse alle condizioni so- 

 lite del calcolo delle variazioni e quindi fosse continua, insieme con le sue 

 derivate parziali dei primi tre ordini, nel campo dei valori ammessi per x 

 e y e per tutte le coppie x' , y' verificanti l'equazione x' 2 -f- y' % = 1 . Un 

 esempio semplicissimo, nel quale queste condizioni non sono verificate mentre 

 lo sono quelle del teorema sopra dimostrato, è offerto dalla funzione 

 f(x,y,y')=y'smy'. Questo esempio mostra anche come non si possa ri- 

 guardare la proposizione qui stabilita come un semplice corollario di quella 

 del n. 6 della Nota I. 



5. Ritornando al teorema del n. 8 della Nota I, vale a dire al teorema 

 di Gr. Fubini, vogliamo ora dedurlo dalla proposizione sull' integrazione per- 

 sene di B. Levi ( 2 ), ma in una maniera assai diversa da quanto ha già 

 fatto il Fubini stesso. 



00 



Sia dunque u(x) — \ u n (x) una serie, convergente su tutto {a,b), di 

 i 



funzioni non decrescenti. Indicato con E l' insieme di misura nulla nei cui 

 punti manca o non è finita almeno una delle derivate u' , u' n (n = 1 , 2 , ...) , 

 rinchiudiamolo [nel senso stretto : eccezion fatta, al più, per a e b ( 3 ) ] in 



(*) Questi Rendiconti, 1912, 1° sem. 



( a ) B. Levi, Sopra V integrazione delle serie (Rendiconti del R. Istituto lombardo, 

 toI. XXXIX, 1906). 



( 3 ) Intendiamo, con ciò, che ogni punto di E, distinto da a e b, o è interno ad un 

 segmento di J, oppure è l'estremo comune di due segmenti contigui di A. 



