— 91 — 



un sistema d'intervalli J, non sovrapponentisi, e tale che sia 2J < « , e 

 ■detìnianio, per ogni n da 0 all'oo (essendo u 0 = u), la funzione /„ nel 

 seguente modo: fuori degli intervalli J e nelle loro estremità poniamo 

 f n — u n ; nell'interno di un J = (a,8) facciamo variare la f n linearmente, 

 poniamo cioè f n {x) = f n {a) + ^ — a ^ ^ a r i su ita con- 

 tinua e non decrescente, ed ha in ogni punto la derivata destra, D + / n , finita, 

 coincidente, fuori dei J , con u' n . È evidente l'esistenza della J) + f n finita 

 in ogni punto interno ad un J o coincidente col primo estremo di uno di 

 questi intervalli. Se x non è un tal punto ma, per h^>0 e conveniente, 

 non esiste nessun J nell' intervallo (x , x -f- li) , l'esistenza della D + / n e 

 l'uguaglianza D*f n = u' n sono pure evidenti. Supponiamo, infine, chea? non 

 sia interno a nessun J nè coincidente col primo estremo di qualche J, e 

 che esistano alla sua destra infiniti di questi intervalli, prossimi ad esso 

 quanto si vuole. Il rapporto incrementale ÙÀ^J^L^Ì fn{%) ^ ^ ^-^q^ 



u n {x-\-h) — u n (x) . . -, , . . 



e = ! — , se x -\- li non e interno a nessun J; e nel caso 



opposto e compreso fra — — e — ~ — , essendo («, 8) il J 



ce — X p — X 



in cui cade x -f- h . Si ha dunque lim /"(^ ^ — = u'(x). Da 



A-> + 0 « 



quanto si è già detto risulta poi sempre D + / n ^O. La serie 2f n (x), 

 nei punti non interni ai J coincide con 2u n {x) e quindi converge verso f{x). 

 Ed essendo, in J = (cc , 8) , 



I Ate) = £ /*(«) + j I - £ A(«) \ , 



i i p — a ' i i ; 



la 2f n (x) converge dappertutto verso la /"(^). Per essere la D x /„ sempre 



/" a; 



finita e la / w a variazione limitata, è poi ! D + f n dx = f„(x) — f n {a) , 



J a 



onde 



X f"j) + f n dx = f(x) — f(a)= f X J) + fdx. 



Per il teorema sull'integrazione per serie del Levi, la 2D + f n è allora 

 convergente quasi dappertutto ed è 



J_ C X D + f n dx= f X (2D + f n )dx, 



J a J a 



onde 



f X (2T>+f n ) dx= f X D + fdx', 



<J a J a 



e derivando, -2D 4 " f n = D + / quasi dappertutto, ossia quasi dappertutto fuori 

 dei J, 2u'„ / = u'. E il teorema è dimostrato, perchè è 2J<^s, con £ 

 arbitrano. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sera. 



13 



