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spondente agli incrementi dxi. I massimi e minimi di questo modulo n 

 corrispondono a quelle direzioni che soddisfanno al sistema lineare 



(3) ^_{a'iii — Qa.i) dxk = 0 (z = 1 . 2 , .. ■«) . 



k=i 



essendo q una radice della equazione secolare 



(4) \a'ih — Qa ik \=Q. 



Questa ha le sue n radici q x , q 2 , ••■ Qn sempre reali e 'positive, e, in gene- 

 rale, distinte. Vi corrispondono quindi n direzioni, che diciamo le direzioni 

 principali della rappresentazione, e i corrispondenti valori di fx 



che chiamiamo i moduli principali. Due direzioni principali corrispondenti 

 a radici diverse sono ortogonali tanto rispetto alla metrica di S„ , quanto 

 rispetto a quella di (*)'. Così adunque in ogni punto di S„ (o di S' n ) 

 abbiamo una n pla ortogonale di direzioni principali, in generale perfetta- 

 mente determinata. Indeterminazione si presenta quando l'equazione seco- 

 lare (4) ha radici multiple ; precisamente ad una radice r pla corrispondono 

 r direzioni principali linearmente indipendenti, o, se si vuole, uno spazio- 

 lineare S r di tali direzioni. 



Se in un punto di S n le direzioni delle linee coordinate {x x ) , (<r 2 ) , ••• (%n) 

 sono quelle delle direzioni principali (ciò che è sempre lecito supporre), 

 la (2) diventa semplicemente 



fi 2 = fiì + [4 il + ' • • + (il & ■ 



dove fi , f 2 , ... £« sono i coseni degli angoli che la direzione generica con- 

 siderata fa colle direzioni principali, ed è '§\ -\- £\ -\- ¥ n = \ . La legge di 

 variazione del modulo a , al variare della direzione,, corrisponde a quella 

 dei semidiametri della quadrica indicatrice delle dilatazioni: 



(5) ni X? -j- 'fi\ %\ -4 f- fi-, X* = cost 



2. Chiamiamo congruenze principali della rappresentazione le n con- 

 gruenze di linee dell' S n che seguono, in ogni loro punto, una delle dire- 

 zioni principali. Appena il numero n delle dimensioni supera il 2, queste 

 congruenze principali non sono in generale normali (non ammettono iper- 



(') Se si indicano con dXiéXi gli incrementi corrispondenti a quelle due direzioni, 

 sussistono invero le due relazioni 



- S a ik dxi Ss&i = 0 , jjjr a' ih dxidxk — 0 . 



ih ik 



