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superficie ortogonali), ed è quindi impossibile costruire in S„ un sistema 

 n pl ° di ipersuperficie (ortogonali) che si seghino lungo le congruenze prin- 

 cipali. Ma se questo è possibile per la rappresentazione di S' n sopra S„, 

 la proprietà ha pur luogo manifestamente nella rappresentazione (inversa) 

 di S„ sopra S^; allora diciamo, per abbreviare, che la rappresentazione è 

 normale. 



Diremo poi uniforme la rappresentazione quando i moduli di dilata- 

 zione principali /Uj , ^ s , ... fx n siano costanti in tutto lo spazio (o regione 

 di spazio). In questo caso l'equazione secolare (4) avrà le radici costanti, 

 e quindi, in particolare, sarà costante il rapporto dei due discriminanti 

 delle forme differenziali (1), (1'); onde segue: ogni rappresentazione uni- 

 forme conserva in particolare la proporzionalità tra i volumi (ipervolumi) 

 corrispondenti. 



3. Premesse queste generalità, veniamo all'oggetto della presente Nota, 

 e, supposto che S n , S'„ siano due spazii a curvature riemanniane costanti 

 K , K', domandiamo di risolvere il problema: Trovare tutte le rappresen- 

 tazioni normali ed uniformi dell'uno spazio sull'altro. Tali rappresenta- 

 zioni esistono effettivamente in grande arbitrarietà : la loro ricerca dipende 

 dall'integrazione di un sistema simultaneo di equazioni a derivate parziali, 

 il sistema (B) del seguente n. 4. 



Riferiamo lo spazio S„ al sistema n pl ° ortogonale (u x , u z , ... u„) costi- 

 tuito, per ipotesi, dalle congruenze principali della rappresentazione; esia 



la corrispondente forma del ds z . Scriviamo in primo luogo le condizioni affinchè 

 questo ds 2 appartenga allo spazio di curvatura riemanniana costante K . Se 

 introduciamo le rotazioni (Darboux), date da 



queste condizioni si esprimono col sistema differenziale seguente per le H,- 

 e le fan (ved. le mie Lezioni, voi. I, pag. 75 e pag. 344): 



(6) 



ds* = Ri dui + Et dui H h H* da* 



fi ih = 



1 ìH ft 



1>Eì 



U"=M) 



Qui i , k , l , ... denotano indici diversi presi nella serie 1 , 2 , ... w ; ed il 



