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(i,?c) 



simbolo Y significa che l' indice variabile X di sommazione prende tutti i 

 x 



valori 1,2,...», eccettuati i due i,/c. Viceversa, se le funzioni H{ , /S iJt 

 delle u verificano le (A), la (6) definisce, a meno di movimenti, un sistema 

 n pl ° ortogonale nello spazio S n di curvatura riemanniana K costante. 



4. Nella nostra ipotesi di una rappresentazione uniforme, pel corrispon- 

 dente ds n di S' n , avremo 



ds' 2 = ix\ Hf du\ -f- i*\ H| dui — |— - - — j— du\ , 



dove i moduli principali fx x , fx 2 ? ••• saranno n costanti, che supporremo 



inoltre tutte diseguali. Indicando con accenti le quantità relative a S„ , 

 abbiamo 



Hj- = (ii Hi , jSk — — f^ik • 



(Ai 



Scrivendo che le , debbono soddisfare al sistema (A), ove K sia 

 cangiata in K', vengono ad aggiungersi alle (A) le equazioni seguenti: 



J_2& ^'^1» Hi = (K 



Combinando queste colle (A) della terza linea, possiamo risolvere rispetto 



ÌUi lUk 



1 



(7) Ci — „ , Ci — „ . ... c n , , 



troviamo così 



Wìh ( g> c* - ex R , Kg> — K f 



— = N PXi PXk -f- -n/ Jtlft 



-òfa — ex Kg - K' , 

 — — = N ~ PXi Pxn H " — H{ M ft , 



1>U* ~ c k — c i c * ~ °i 



ma la seconda di queste non è che la prima, scambiati gli indici i,k. 



Il problema proposto è così ricondotto a riconoscere se ammette solu- 

 zioni il sistema differenziale 



= §u 



l)U h 



(B) < f^„fe 



— — = > PXi PXk "1 ti; nfc , 



7) M,- T Ci - C k d — £fe 



e quale arbitrarietà resta nell' integrale generale. 



