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In questa ricerca possiamo prescindere dal fatto che, per avere soluzioni 

 reali del problema delle rappresentazioni uniformi, occorre, per le (7), attri- 

 buire valori positivi (diseguali) alle costanti c t \ b asterrà qui supporre sol- 

 tanto che le c siano costanti diseguali. 



5. Se supponiamo in particolare K = K' = 0 : se cioè cerchiamo le 

 rappresentazioni normali uniformi dello spazio S w euclideo, il sistema (B) 

 viene a coincidere con quello già considerato in una mia Nota precedente ( 1 ). 

 Constatiamo che, anche nel caso di K , K' costanti qualunque, le condizioni 

 d'integrabilità del sistema (B) rientrano nel sistema (B) stesso. Siccome 

 questo è immediato per quelle che nascono dal confronto di due equazioni 

 nella prima e nella seconda linea di (Bj, basterà considerare la seguente 

 espressione 0 che risulta dal paragonare quelle della seconda con quelle 

 della terza linea, e cioè 



(8) 0 = (fr + 1 ^- (fa fa) + K '~ KCk ~ (H, , H S ) , 



IìUì x Ci — c k ìui e, — c h ÌWj 



e sarà da provare che, in virtù delle (B) stesse, 0 si annulla. Decompo- 

 niamo 0 in due parti, 



0 = <l> ... Si , 



delle quali la prima <t> sia composta di tutti i termini non contenenti K , K', 

 che risultano nel secondo membro della (8) sviluppato colle (B), e l'altra Sì 

 raccolga i termini rimanenti. Il calcolo, già eseguito nella Nota ora citata, 

 dimostra che si ha # = 0. D'altra parte l'espressione effettiva di Sì è 



Sì = fi ih ■ H, -f- 



Ci — Ci 



cj-j^ j B( H , + h K -> - K ' H» H, \ + 



Ci — C k ( Ci — Ci Ci — Ch ) ' 



-f- * J Pih Hi ìli -f- §u Hft Hi \ ; 



Ci Cx 



ora i due termini col fattore PuE H H.i si elidono, e gli altri tre termini, 

 col fattore fim H* Uj , si distruggono pure, a causa della identità 



(Kd - K') (ci — c k ) + (Ka - K') (c k — ci) + (Kb* — K') (c, - a) = 0 . 



Si ha dunque in effetto Sì = 0, e, per ciò, anche 0 = 0, c. d. d. 



6. Le condizioni di integrabilità pel sistema (B) sono dunque iden- 

 ticamente soddisfatte. Esso ha d'altronde la forma lineare canonica del 



(') Questi Rendiconti, voi. XXIV (settembre 1915). 



