- 132 — 



Bourlet('); anzi è nel caso, più semplice, del Darbonx non .figurando 

 derivate nei secondi membri. Ciascuna delle n(n — l)-^-n = n i funzioni 

 incognite pa, H; ha una sola variabile parametrica. le rimanenti n — 1 

 principali: precisamente, per le Pm la variabile parametrica è la per 

 la Hj è la Dai teoremi generali d'esistenza (cfr Darboux, loc. cit., 

 pag. 335) risulta che, fissato un sistema iniziale di valori per le u, sia 

 per es. (0 , 0 , ... 0), esiste uno ed un solo sistema integrale tale che cia- 

 scuna funzione incognita p ik , si riduca ad una funzione arbitraria della 

 sua variabile parametrica quando le altre n — 1 (principali) si annullano; 

 e queste funzioni arbitrarie sono soggette alla sola condizione di essere 

 finite e continue ed ammettere rapporti incrementali finiti (condizioni di 

 Lipschitz). 



Il numero delle funzioni arbitrarie nell' integrale generale del sistema 

 (B) sembra così dato da 



n(n — 1) -f- n = n 2 ; 



però n di queste sono solo apparenti, dipendendo dall'arbitrarietà lasciata 

 ai parametri u . 



Se fissiamo p. es. questi parametri come gli archi delle curve coordi- 

 nate , (u 2 ) , ... (u n ) uscenti dal punto (0,0, ... 0), tutte le Hj si ridur- 

 ranno inizialmente all'unità. Concludiamo quindi : 



Dati due spazi S„ , S^ a n dimensioni, e di rispettive curvature 

 riemanniane costanti K , K', esistono infinite rappresentazioni normali ed 

 uniformi dell'uno sull'altro. La loro ricerca dipende dall'integrazione 

 del sistema (B), il cui integrale generale contiene n(n — 1) funzioni arbi- 

 trarie essenziali. 



7. Un primo contributo all'integrazione del sistema (B) è portato dal- 

 Tosservare la esistenza di n integrali quadratici pel sistema stesso. 

 Si considerino infatti le n espressioni iì x , Sì 2 , ... Si» definite da 



4 = T (ex - c h ) p% + (K' - Kch) H| (^==1,2, ... n). . 



x 



Se i è un qualunque indice diverso da k. derivando SÌ H rapporto ad u i} 

 ed osservando le (B), risulta 



ó T - 1 ~ V — e*) Pia fai P\h + 

 2 III* — 



+ (Pi — c k ) Pm N Pxì Pxk + — — Hi H ft . -f- 



+ (K' — Kc k )p iH HiH ft , 



(') Sur les équations ance dérivées partielles simultanées (Annales de l'Ecole nor- 

 male sup., tome Vili, 3 èmtì sér.. Supplément. 



( a ) Legons sur les systlm.es ortkogonaux, 2 ème édition 1910, livre III, chap. I. 



