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cioè identicamente = 0. Dunque SI* è funzione della sola w ft ; e poiché 



un cangiamento del parametro u^ ha per effetto di moltiplicare Sì* per una 

 funzione arbitraria di u h , possiamo disporre di u^, sì da rendere i2 ft costante. 

 Ne concludiamo: 



II sistema differendole (B) possiede (scelti convenientemente i pa- 

 rametri uì) gli n integrali quadratici 



w 



(9) 2 (ex — +(K' — Kc ft )H| = cost (k = 1 , 2 ,...») . 



x 



8. Come prima applicazione di questi risultati generali si consideri il 

 caso n = 2 , dove la condizione di normalità delle congruenze principali 

 (n. 2) è sempre soddisfatta, ed il problema è quello di trovare le più ge- 

 nerali rappresentazioni uniformi di due superfìcie colle curvature costanti 

 K , K' l'uno, sull'altra. 



Riprendendo qui le notazioni usuali, poniamo 



indi 



U\ = U , Ut = V 



Il sistema differenziale (B) si riduce, in tal caso, alle due equazioni 

 ~òu \|/e ~òu ) j»I — jtt! 



■3» \|/G: 7>» / flì — p| 

 e possiede i due integrali quadratici 



( - fif) (±= + (K>? - K) (A G = cost 



f (tè - ,«!) j^-g + (K' ^ - K) E = cost. 



Prendiamo dapprima il caso più semplice K = K'=0, dove si tratta 

 delle rappresentazioni uniformi del piano sopra sè stesso. Le condizioni da 

 soddisfarsi riducono, secondo le (11), alle due 



