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con a , b costanti. Lasciamo da parte il caso in cui uria almeno di queste 

 due costanti è nulla: il che conduce ad una soluzione geometrica ovvia, 

 in cui le linee di uno dei due sistemi sono rette. Nel caso generale, can- 

 giando i parametri, possiamo fare a — b — 1 ; l'elemento lineare del piano 

 prende la forma caratteristica 



(12) ds* = e*dvr + (~) 



soddisfacendo 0 all'equazione 



(13) 



In effetto, anche l'elemento lineare 



*dv 2 



ds n - !<ìd* du 2 -f (il ^) dv 2 . 



con jd-i , ;U, moduli costanti arbitrarli, appartiene al piano. Dunque: La ri- 

 cerca delle rappresentazioni uniformi di un'area piana sopra un'altra 

 area dipende dall'equazione del secondo ordine s=x. Questa si sa inte- 

 grare completamente per funzioni di Bessel (Du Bois-Reymond). 



Geometricamente i sistemi ortogonali (u , v) che dànno al ds 2 del piano 

 la forma (12) sono caratterizzati dalla seguente proprietà : Ad ogni sistema 

 (u.v) corrispondente alla (12), ne è associato un secondo pel quale si ha 



(12,) Usi = ( — X du* + 6 2 dv 2 ; 



le linee u = cost di (12) sono le evolute delle u = cost in (12,), e le 

 v = cosi di ( 12x) le evolute delle v = cost in (12) 



9. Sempre supponendo n = 2, facciamo in secondo luogo K = K'=1> 

 sicché si tratterà ora delle rappresentazioni uniformi della sfera sopra sè 

 stessa. 



L'esame dei casi possibili nella integrazione del sistema (10) trovasi 

 completamente eseguito in una mia recente Memoria ( 2 ). Qui ricordo che i 

 corrispondenti sistemi sferici ortogonali (u . v) si ottengono dalle congruenze 

 pseudosferiche reali (a fuochi reali od immaginarli) nel modo seguente: 



Della congruenza pseudosferica si prende l'immagine sferica, e le linee 

 della sfera che corrispondono alle asintotiche delle due falde focali dànno 

 i richiesti sistemi ortogonali (u , v). 



(') Cfr. una mia Nota del 1891 nel voi VII, pag. 4, di questi Rendiconti. 

 (■) Sopra una classe di superficie collegate alle congruenze pseudosferiche [Ren- 

 diconti del Circolo matematico di Palermo, tomo XL (1915)]. 



