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Aggiungiamo che, se i due moduli principali ,«1,^2 sono ambedue 

 diversi dall'unità, la congruenza ha fuochi distinti (reali od immaginarii) ; 

 questi vengono a coincidere se fi 1 = l (0 /x 2 = 1). In questo caso la con- 

 gruenza consta delle tangenti alle asintotiche di un sistema ìd una (qua- 

 lunque) superficie pseudosferica ; e il ds 2 della sfera prende la forma carat- 

 teristica 



(14) ds* = / — \ du % -4- sen 2 w dv 2 , 



con m soluzione della nota equazione del secondo ordine 



nto 1)2(0 



(lo) == seti co . 



Ancora da questa equazione, e dalle relative trasformazioni di Bàcklund, 

 dipende la ricerca nel easo delle generali congruenze pseudosferiche; onde 

 abbiamo: Le rappresentazioni uniformi della sfera sopra sè stessa dipen- 

 dono dalla equazione s = sen z . Un risultato del tutto analogo si trove- 

 rebbe per la pseudosfera, col fare K = K'= — 1. 



10. Prendiamo il caso successivo n = 3; e supponiamo dapprima 

 K = K' = 0, ciò che corrisponde alla ricerca delle rappresentazioni nor- 

 mali ed uniformi dello spazio S 3 euclideo sopra sè stesso. Queste dipen- 

 dono da sei funzioni arbitrarie essenziali (n. 6); i sislemi tripli ortogonali 

 determinati dalle congruenze principali della rappresentazione sono quelli 

 già introdotti in una mia Nota dell'anno scorso e studiati poi ampia- 

 mente in un lavoro ora in corso di stampa nel voi. XXV degli Annali di 

 matematica. I metodi di trasformazione ivi sviluppati permettono di costruire, 

 senza calcoli d'integrazione, serie illimitate di tali sistemi. 



Se prendiamo ora n qualunque, ma ancora K = K' = 0 , si hanno i 

 sistemi nP u ortogonali dell' S„ euclideo di cui tratta la Nota già citata al 

 n. 5. Se infine supponiamo K , K' costanti qualunque, si ottengono più in 

 generale sistemi n pli ortogonali dell' S„ a curvatura costante, e, per ciò, anche 

 dell' S„ euclideo, il cui studio merita di essere approfondito. 



11. Qui, ritornando alle rappresentazioni normali uniformi dell' S 3 

 euclideo, ne rileveremo due classi particolarmente semplici. La prima classe 

 corrisponde al caso che nel relativo sistema triplo ortogonale una serie 

 consti di superfìcie S parallele, e quindi le altre due constino delle svilup- 

 pabili luogo delle normali lungo le linee di curvatura. Queste superfìcie S 

 hanno per immagine sferica delle loro linee di curvatura uno qualunque 

 dei sistemi sferici ortogonali (u , v) considerati al n. 9 ; e, viceversa, ogni 



(*) Voi. XXIV dei Rendiconti (maggio 1915). 

 Rendiconti. 1916, Voi. XXV, l 8 Sem. 



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