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tale superficie S. colle superficie parallele, dà luogo ad uno dei sistemi 

 tripli ortogonali cercati. 



Una secoDda classe corrisponde a quei sistemi ciclici — considerati al 

 § 278, voi. II delle Lesioni — uei quali gli assi dei circoli formano una 

 una congruenza di Ribaucour a superficie generatrice pseudosferica. 



Le formule relative a questi sistemi ciclici si ottengono come segue: 

 Sia (o una soluzione qualunque della (15), e sia q = g(u , v) una soluzione 

 della equazione per le deformazioni infinitesime delle superficie pseudosfe- 

 riche : 



(16) "d g = o cos co . 



Le formule della trasformazione di Backlund 



\ 



1 ~ò((o' -\- co) co' — co 

 = m <r sen 



2 )u 8 2 



(e costante) 



1 — co) to' — 00 



= cote s>en — - — 



•2 Do 2 



dànno, integrate, una nuova soluzione co' di (15), contenente una costante 

 arbitraria w, che riguardiamo come terza variabile. Allora il ds* riferito 

 al sistema ciclico (u ,v ,w) ha la forma 



ds* = Efdu 2 + Eldv* + Etdw* , 



con 



ù)' (lì ~i)Q CO' CO 



li! = cos cr f- g sen cr cos — - — , H» = sen cr — 4- o cos e cos , 



IT 1 ^ )<B ' 



H 2 = - o sen cr cos e . 



E se poniamo 



ds' 2 == /»S Hf rfw» + iul H| dv* + /il Hl-rfw 8 , 

 legando i moduli costanti [i 1 , /x t , ^ 3 con la relazione 



sen 2 a cos 2 e l 



2 I 2 2 ' 



[Il [X z ' fj, z 



il nuovo elemento lineare ds' 2 appartiene ancora allo spazio euclideo, ed 

 abbiamo così una delle rappresentazioni normali uniformi che si domandavano. 



11. Nelle ricerche generali precedènti è essenziale l'ipotesi (n. 41 che 

 i moduli principali siano costanti distinte. Esistono per altro rappresenta- 

 zioni normali ed uniformi nelle quali questi moduli sono in parte eguali; 

 ma la loro ricerca richiede una trattazione diversa. Se si cercano p. es. le 



