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rappresentazioni normali ed uniformi dello spazio ordinario euclideo sopra 

 sé stesso con due moduli di dilatazione principali eguali, si trova che ne 

 esistono due sole classi. Una è fornita dai sistemi tripli ortogonali di cui 

 una serie è costituita da piani; l'altra classe è data da superficie parallele 

 in una serie ed aventi per immagine delle linee di curvatura un sistema 

 sferico (14). Le superficie della serie parallela sono quindi superfìcie di 

 Guichard, aventi per una delle falde dell'evoluta una superficie di Voss. 



Ma se domandiamo invece le rappresentazioni normali ed uniformi 

 dell' S 3 euclideo sopra un S 3 a curvatura costante, vediamo che ogni sistema 

 triplo ortogonale di Weingarten (Lezioni, voi. II, cap. XXVII) dà luogo 

 ad una tale rappresentazione. Prendasi invero dapprima un sistema pseudo- 

 sferico di Weingarten corrispondente alla nota forma del ds* 



(18) ds = cos 2 (» du\ -f- sen 2 w du\ -J- (-^—ì dui, 



dove co = co(Ui , Uì , u 3 ) soddisfa alle equazioni scritte a pag. 549 del voi. IT 

 delle Lezioni. Se a , b sono due costanti arbitrarie, l'elemento lineare 



(18') ds' 2 = « 2 (cos 2 « dui + sen 2 <w dui) + b 2 (^-j 



2 



dui 



appartiene ad uno spazio S 3 di curvatura costante K' = -77 — \ . Queste 



b i ar 



forinole (18), (18'j dànno quindi una delle rappresentazioni richieste, con 

 due moduli di dilatazione = « , il terzo = b . Similmente, nel caso dei 

 sistemi di Weingarten a curvatura positiva, il cui ds* è dato da (loc. cit., 

 pag. 551) 



ds 2 = senh 2 0 du\ -f- cosh 2 0 du\ 4- ( -^-\ dui ■ 



\ l>u 3 ! 



si vede che l'altro 



ds' 2 = a 2 (senh 2 fl du\ -f cosh 2 0 du\) -j- b 2 



appartiene allo spazio S 3 di curvatura costante 



a 2 b 2 



Sotto l'attuale punto di vista, i sistemi di Weingarten rientrano dunque 

 nella classe generale di quei sistemi (tripli) ortogonali che si collegano al 

 problema delle rappresentazioni normali ed uniformi. 



