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Ora, se noi sviluppiamo la frazione in serie di Taylor rispetto ad h, 

 troveremo che 



z(x + h) = /(0) + h f + 



ove « denota un infinitesimo d'ordine maggiore o eguale a due, ed f(0) e 

 f\0) sono la / e la sua derivata rispetto ad h , per h = 0. 

 Eseguendo i calcoli, si trova 



il (ce 4P Ji) = z(x) 4- h { a(x) z(X) -f- b(x) — c(x) z* { + e ; 



da cui, portando z(x) a sinistra, dividendo per Ti, e passando al limite 

 per h — 0 , avremo 



— = — c (x) z 2 -\- a (x) z -\- b(x), 



poiché lim 4~ = 0 



h 



E questa è appunto l'equazione di Riccati: tutte le sue note proprietà 

 dipendono semplicemente dal fatto che essa equivale all' integrazione di 

 una trasformazione lineare fratta. 



Infatti, le trasformazioni (1) ammettono, come invariante assoluto, il 

 birapporto 



Quindi, dalle (2) si ricava che il birapporto delle s nel punto x 0 è 

 eguale a quello nel punto x 0 -\- h , x 0 -\- 2A , .., , x 0 -f- nh = x x ; cioè ritro- 

 viamo la proprietà fondamentale e caratteristica dell'equazione di Riccati. 



Notiamo poi anche che, introducendo variabili omogenee s== — ., le 

 (1) ci dànno 



" (q = inni, arbit. di x) . 



Come è noto, l' integrazione di queste trasformazioni lineari intere, ci 

 conduce alle equazioni differenziali lineari; quindi, ponendo » = — -, nelle 



y 



equazioni di Riccati dovremo trovare delle equazioni lineari. 

 Infatti, avremo 



C'y-y'C c¥ aC , , 



rf ~ r? T V T 7 

 da cui, per 174=0, si trae 



(£' — by -\- (k — a) £) r] — (rf — c£ -\~ lei]) C = 0 (A funz. arbit.) 



