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che è soddisfatta da 



C = (a - k) C -f bri 

 r( = et, — krj . 



Riciprocamente, si vede la ragione per cui il rapporto d' una coppia-so- 

 luzione del sistema ora scritto (il più generale del secondo ordine, come si 

 vede) soddisfi all'equazione di Riccati. 



2. In un modo perfettamente simile si possono ottenere nuovi tipi di 

 equazioni, più generali, e godenti di proprietà simili. 



Consideriamo il gruppo delle trasformazioni lineari fratte a due varia- 

 bili (ciò che diremo si estende subito al caso di n), definito dalle 



ay -f- bz + e dy + cz + f 



rny -j- nz -f- p my -f- nz -\- p 



■ y Z 



il quale, con l'introduzione delle variabili omogenee y = -r- , è — — , 



può ridursi al gruppo lineare omogeneo 



i 171 = {ar t -j- b£ + e£j q 



(4) Ci = (^v + ^+ e ((? funz - ai ' bit -) 



f £, = (mty -f- w£ -f- g) q 



Se ora consideriamo il caso che tutte le variabili sieno funzioni di x, 

 e fissiamo le forinole di trasformazione 



(l + ha{x)) y(x) -f hbz+hc _ _ ^ y -4- ( 1 -f- e) ^ -{- A / ' 



m y -4- A n s 1 ' /i w ^ -f- A * -j- 1 



avremo che il prodotto (destro 0 sinistro) delle n trasformazioni ottenute 

 * ponendo x — x 0 -f- mh , fi — Xl J ° , m = 0 , 1 , ... , n — 1 , per n ten- 

 dente all'infinito, è l'integrale della trasformazione lineare fratta (3); ed 

 il valore, che in x x assumono la y e la z, è precisamente il valore d'una 

 coppia integrale d'una certa equazione differenziale. 



Per trovare questa equazione, sviluppiamo i secondi membri delle (5) 

 in serie di Taylor rispetto ad h ; avremo 



y ( x -f- h) = y{x) + h)ay + bs -f c — y {my + nz) \ + «' 

 z (x -f - fi) = z (x) li \ dd -\- ez -{- f — z (my -f- nz) } + «" 



ove *' , e" sono infinitesimi d'ordine superiore rispetto ad h. 



