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L'espressione 



Vi Vt yz 



Z 1 Sì Z3 



1 1 1 



Vi y-2 y* 



Z\ Zi £3 



1 I 1 



y* ih y« 



%4 ^5 ^6 

 1 1 1 



ys y 5 yt 



Z3 Zi ^6 



1 i 1 



ove le i/ , z sieno coppie e soluzioni delle (6), è costante; in particolare 

 può essere y x — y 6 , z x — s 6 . 



Conosciute quindi cinque coppie-soluzioni delle (6), è determinata, 

 senza quadratura, ogni altra soluzione (*). 

 Basta infatti risolvere il sistema 



D(l 2 3) • D(45 1) 

 D(124) D(351) 



= k 1 



D(l 2 3) • D(4 6 1) 

 D(l 2 4) D(3 6 1) 



== ki 



per ottenere la soluzione y x .z x , se si conoscono le coppie (2),... (6). 



Per verificare direttamente tale proprietà, consideriamo le coppie (1), 

 (2), (3). Sostituiamo nella (6), al posto di y ,y x ,z x , e moltiplichiamo la 

 prima per — H) , la seconda per {y x — y 3 ); permutiamo circolarmente 

 gli indici, e consideriamo l'espressione 



)y[ di — sa) 

 — ] fi (ys -y/3) ■ 



■y'iizy — £ 3 ) +y' 3 {h — i*f \ — 



I 1 ) Per n — 1 variabili, si hanno le equazioni 



■con gli invarianti 



y'p = kp + Zapa ■ yv — y p (2b<r y a ) 



1>(1 2 :ì ... n) • I)(n+ 1 . .2n) 

 D(l 2 3 ..»+ !)■• D in.... 2n) ' 



(Q = l,...,n-1) 



ove, al più, n — 2 «-pie possono coincidere. 



La soluzione generale è conosciuta allorché si conoscono In -J- 1 soluzioni: basta 

 scrivere il sistema di « — 1 equazioni 



C(l 2 ...» — 1 ,«) • D(w + 1 .« + 2 . 1 ) 

 D (1 2 ... n — 1 , re -f- 1) • D (re , re -f- 2 , 3 . ... 1) 



D(l,2,»-l,ii)'D(«4-l,» + 3,3,... 1) 

 D(l . 2 ,n — 1 , n -f-1) ■ \){n , » + 3 .3, ... 1) 



hi \ 



= k t ,.. 



•ove la (1) sia incognita, e le (2) ....,(»), (n -f- 1) , .. (2n) sono note. 



