È facile vedere che otterremo, per le (6), 



d 



— D(l 2 3) = a { y\ {iy — z 3 ) — y t (*, — * 3 ) + y 3 (*i — s t ) j + 



+ M — *i (y« — 2/3) + 4 (y. — i/ 3 ) — {yi — y%) | + 

 + yi ( w yi + Oi — *s) — Vi {my 2 + rc* 2 ) («x — s z ) + 



+ y» {myz + ^3) (*i — 22) + ari («ìyi + itti) (y* — H 



Ora, è facile vedere che quest' ultima espressione può scriversi anche 



— D(l 2 3) = a- D(l 2 3) + èD(l 2 3) + 



yi y* y 3 



iì Si ?s 



a 2 + a 3 a! + « 3 a, + a 2 



ove a = my + ; e se, in quest'ultimo determinante, all'ultima linea som- 

 miamo la prima moltiplicata per w, la seconda moltiplicata per n, otte- 

 niamo, all' ultima linea, il fattore a, + a 8 + a 3 ; e perciò 



D (1 2 3) = a D (1 2 3) + * D (1 2 3) + (a, + « 2 + a,) • D (1 2 3) . 

 Quindi, si ha 



dlogD(12 3) 



= « 1 + « 2 + « 3 ; 



e quindi 



— | log D (1 2 3) + log D (4 5 6) — log D (1 2 4) — log (3 5 6) j = 

 = (a l + cc 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 ) — (a x + a 2 + a 4 ) — (or 3 + a 5 + a 6 ) = 0 . 



E questa, integrata, ci dà proprio il teorema che avevamo trovato così 

 brevemente 



4. Risultati completamente analoghi si possono ottenere per equazioni 

 di tipo più generale. Partendo da un qualunque gruppo di trasformazioni 

 ad n variabili per v parametri essenziali, e supponendo le variabili ed i 

 parametri funzioni della x, l'integrazione delle trasformazioni del gruppo 

 ci condurrà alla soluzione di equazioni differenziali, facilmente ricavabili 

 dal gruppo stesso. 



Se inoltre con £ serie di n variabili cogredienti si può formare un in- 

 variante assoluto H rispetto alle trasformazioni del gruppo, tale invariante 



('} Se invece di considerare il gruppo lineare fratto, si considera un suo sotto- 

 gruppo, avente altri invarianti, si hanno equazioni differenziali del tipo scritto, fra i cui 

 coefficienti intercedono relazioni, e fra le cui soluzioni esistono altre relazioni ancora. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 



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