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Noi ci chiediamo dunque : 



Quando mai la corrispondenza stabilita tra le due falde focali da 

 una congruenza di rette è tale che sulle due falde focali si corrispondano 

 le linee 2 1 =Q di Barboux-Segreì 



Una tale congruenza è necessariamente W . Come si vedrà, le con- 

 gruenze, di cui qui ci occupiamo, si possono considerare come una semplice 

 generalizzazione delle congruenze a falde focali rigate, già studiate dai pro- 

 fessori Bianchi e Segre. I teoremi che qui dimostreremo sono i seguenti: 



1°) Le falde focali dì una di tali congruenze sono superficie su 

 cui le linee di Wilczynski formano un sistema coniugato. 



2°) Viceversa ogni tale superficie è falda focale di ce 3 congruenze, 

 sulle cui falde si corrispondono le linee di Darboux- Segre. 



Pare dunque non privo di ogni interesse lo studio più profondo del 

 problema, a cui è dedicata la presente Nota. 



5. Per dimostrare i teoremi citati, mi varrò dei risultati di una Me- 

 moria del prof. Picone ( l ). Con e du % -4- 2 f du dv -f- g dv % indicherò l'ele- 

 mento lineare dell' immagine sferica della prima falda focale della con- 

 gruenza; con xp la funzione caratteristica della deformazione infinitesima in- 

 dividuata dalla congruenza; con xpi , tpu, , ipm indicherò per i , k , l =1 , 2 



le derivate covarianti di xp rispetto a tale forma quadratica; con 



i simboli di Christoffel di tale elemento sferico, che differiscono solo per il 

 segno dai simboli analoghi costruiti per l'elemento lineare della prima falda 

 focale. È ben noto che 



(1) fn + ff = 0. 



D'altra parte [qfr. le (10), (11) del § 3 di (P)] affinchè tali simboli 

 relativi ad una falda siano proporzionali ai simboli omologhi costruiti per 

 l'altra falda; cioè, affinchè sulle due falde si corrispondano le linee di 

 Darboux- Segre, deve essere, indicando con X un fattore di proporzionalità, 



(2) *n-HV= h | aj 



(à) V*> + 9<P = -M J 1 j 



(') Sulle congruenze rettilinee W (Bendiconti del Circ. matera. di Palermo, 1913, 

 tomo XXXVII). In questa Memoria, fondamentale per la teoria di tali congruenze, l'A., 

 superando gravi difficoltà analitiche, calcola tutti gli elementi di una congruenza W. In- 

 dicherò questa Memoria con (P). 



11) ^ 22 i 



2 i ' i 1 



