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Viceversa, se questa equazione è soddisfatta, le (5) e (6) permettono 

 di determinare A con una sola quadratura. E le (1), (2), (3) diventano un 

 sistema illimitatamente integrabile. 



6. Dimostriamo dunque che — Sì = 0. Adotteremo senz'altro le nota- 

 zioni di (P), indicando con a l'angolo dei piani focali, con t la distanza 

 dei fochi, e ponendo 



d==eg — f 2 ; K = \/e cos (0 +,«) ; N = \fg cos (0 — e») . 



Per il calcolo di — 12 è importante ricordare le (II*) e le (9) del 

 § 1 di (P); le quali permettono di calcolare le derivate di cote, di H, K, 

 M, N. Sarà bene ricordare anche l'identità j/cf = HN — MK. Scrivendo — Sì 

 nella forma 



A f — 1 — — i 1 1 ! — ~1 — -1 lì 22 * — \ 

 7>v\_ìu g M ( 2 j H J 7w\(lÌM/ 



si trova facilmente, calcolando l'espressione tra [••••]. che 



+ *|_m m ( coU + t)J + 7«1( i )m)- 



Applicando di nuovo le citate equazioni di (P), si trova infine che — Sì 

 è uguale a 



^ 22 j 



Hf ( 1 ì , (22) iWWà) y logt/ g_ ì>log|/g 7)log(et/<T) 

 M |_ ì 1 i ^« ^ 2 ^0 



_ » ^ + n « ; j 2f j + _5L log<?)/ 5) - ifitiS iMiil . 



M ' ' [_( 2 H 1 ) ìv ~òu 7)y J 



Scrivendo le (4) del § 3 di (P), scrivendo cioè le equazioni che dicono 

 essere uguale a -4- 1 la curvatura di e du* -{- 2f du dv -{- </ dv* , si trova che 

 — Sì (moltiplicato per il fattore M 4= 0) si riduce a 



0H — Nj/tf — M/ = 

 = g ye [sen (0 -J- «) — cos (0 — w) sen 2© — sen (0 — a>) cos 2co] 



che è identicamente nulla [perchè 0 -f- co = (0 — to)-f-2a)], come volevasi 

 dimostrare. 



