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Si vengono così ad assegnare condizioni più generali di quelle che co- 

 munemente si pongono per la validità della forinola di Cauchy 



(1) <nx)=± r M*. 



' 27llJ{y) Z X 



Mi propongo di far vedere che alla proposizione del prof. Pincherle se 

 ne può fare corrispondere un'altra, relativa alla rappresentazione delle serie 

 di Diriehlet di una particolare classe, quando si faccia uso di una defini- 

 zione di convergenza in media da me introdotta 



Inoltre, si può facilmente dimostrare che, se la funzione <p(x) è rap- 

 presentata, all'interno del cerchio di centro x = 0 e raggio 1, dalla 



serie ^_a n x n condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza delle fun- 



00 



zioni p(t) e q(t) del teorema del prof. Pincherle è che la serie ^_\a n \ 2 



risulti convergente. 



In una prossima Nota dimostrerò che anche a quest' ultima proposi- 

 zione, relativa alle funzioni analitiche, se ne può fare corrispondere una ana- 

 loga relativa alle serie di Diriehlet. 



1. Sia la serie di Diriehlet 



oo 3 



(2) f(s) = y an e * n \ 



n=l 



dove le a n sono costanti, s — e -\- it è una variabile complessa e le X n sono 

 costanti reali che costituiscono una successione crescente ed illimitata. 

 Sulle X n faremo l' ipotesi che la serie 



00 . 



(3) ]T* Ks 



n=l 



converga nel semipiano a ^> 0 . Ciò avviene in particolare se è X n -— n 

 (n .— 1 ,2,3,...), nel quale caso la serie di Diriehlet si può trasformare 

 in una serie di potenze. 



Per una serie di Diriehlet della classe considerata, vale il seguente 

 teorema : 



Se la serie (2) converge in un punto s a = c 0 -j- it 0 , essa converge 

 assolutamente nel semipiano cr ^> <x 0 . 



(') P. Nalli, Sopra una nuova specie di convergenxa in media. Rend. del Circolo 

 matematico di Palermo, tomo XXXVIII, 2° semestre 1914, pp. 305-319; Aggiunta alla 

 Memoria: «Sopra una nuova specie di convergenza in media.» Rend. del Circ. matema- 

 tico di Palermo, tomo XXXVIII, 2° semestre 1914, pp. 320-323. 



