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Infatti, se $ è un punto di tale semipiano, essendo 



si avrà 



— A rt S So — ^/tfs Sq) 



a n e == a n e e 



dove c è una costante che non dipende da h; e siccome la serie che ha 



per termine generale e è convergente, la (2) converge assoluta- 



mente nel punto s. 



Per una serie della classe considerata, la ascissa di convergenza coin- 

 cide con la ascissa di convergenza assoluta, come nelle serie di potenze il 

 raggio di convergenza è anche raggio di convergenza assoluta. 



Per una serie di Dirichlet della classe considerata %\ può facilmente 

 stabilire una forinola analoga alla forinola (1) di Cauchy. Essa può dedursi 

 dal seguente teorema, valido indipendentemente dalla convergenza della (3) : 

 Siano 



00 



e 



k(s) = Y c n e XnS 



due serie di Dirichlet; la prima sia assolutamente convergente per tf = /2, 

 e la seconda lo sia per a = y . Si ha allora 



1 C 03 00 

 (4) lim — h(p + il) k(y — il) dt=Jb n c n (') . 



Per la serie (2) avremo, posto nel semipiano <r < 0 



00 



g(«) = y A s , 



1=1 



— f(s) G(s -s 9 )ds = 1 ~ /(/? + it) Y ,-M«.-7« ^rt ^ , 



dove l'integrazione del primo membro è estesa al segmento che va dal 

 punto £ — coi al punto (ì -\- a>i . Nell'ipotesi che la (2) converga assoluta- 

 mente per ce = fi e che sia a 0 > /? , si avrà, per la (4), 



(5) lim — /(s)G(s — s 9 )ds = f(s 0 ) 



2ftU 



(0 = 00 



(') E. Landau, flandbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Leipzig, 

 Teubner, 1909, Bd. II, pp. 776-778. 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1» Sem. 21 



