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È questa la formola analoga alla formola (1) di Cauchy che volevo stabi- 

 lire: da essa, per X n = n, si può dedurre la (1); o, viceversa, dalla (1) può 

 dedursi la (5). 



3. Ciò posto, sia f (t , r) un sistema di funzioni, reali o complesse, 

 della variabile reale t e dipendenti da un parametro relè r. f{t, r), quando 

 si fìssa r, sia sommabile, insieme col quadrato del suo modulo, in ogni in- 

 tervallo finito, e sia inoltre 



i r w 



lim sup — | f{t , r) ( * dt = L r , 

 u=x 2o>J_ a) 



essendo L r una quantità finita. Diremo che V insieme delle funzioni f(t,r), 

 quando r tende ad r e , converge in media, nell'intervallo ( — co, -|-oo), ad 

 una funzione f(t), sommabile, insieme col quadrato del suo modulo, in ogni 

 intervallo finito, quando, comunque si fìssi il numero positivo s, si può 

 determinare un numero positivo <?, tale che, per \r — ^|<C^> risulti 



limsup^- 



È chiaro che, essendo 



< 2 |A^)I 2 + 2 |/(0-A<,r)|»,_ 

 sarà, per \r — r 0 1 << S , 



i fr 



lim sup — \f(t)\ 2 dt< 2L r -}-2*: 



e cioè 



1 C w 



lim sup — \f{t)\*dt — h, 



essendo L una quantità finita. 



Dimostreremo il seguente teorema: 



Sia la serie (2) convergente nel semipiano <f > /? , e, posto 



s ==a -f- it 



ed 



f{s) = a{o ,t), 



esista una funzione p(t) alla quale a(a,t) converga in media, secondo 



(') Cfr. la nota a pag. 150. 



