— 157 — 



È facile allora verificare [servendoci d'un noto teorema di univocità 

 dell'Almansi che 



(8) I , _1 M . 3- 



Abbiamo così le , / 23 , ^3 espresse mediante 0 : ne ricaveremo la 0. 

 Una delle condizioni di equilibrio (essendo nulle le facce di massa) è 



~S^12 ■ ^23 i ^33 q 



l)x ' l>y ■ i>s ~ 

 Servendoci delle (8) e ricordando la (7), deduciamo 



1)2 ìs \ Dx ' ~òy * D2 ) ' 



Le due funzioni 0 ed F = — 2 ( 4- 4- -^-ì entrambe 



\ 7)05 1 7)?/ 1 7)2 / 



armo- 



niche, e cod derivate rispetto a 2, eguali, non possono differire che per una 

 funzione <p(x,y) armonica in tutto il piano xy (2 qualunque) e, perciò, 

 costante. Ma F si annulla all'infinito; lo stesso può evidentemente ( 8 ) dirsi 

 della 6 e, quindi, di 0: dovrà la costante, in conseguenza, essere eguale a 

 zero, e si avrà 



e = _ 2 (* + 2li + *\. 



\ Dx 1 l>y 1 7)2 / 

 e dalla (6), che definisce 0 mediante la dilatazione cubica 6, si ottiene 



Nota la dilatazione cubica 6- dico essere nota la essendo n la nor- 



an 



male al contorno: infatti, dette , w 2 le doppie componenti della rotazione 

 di ogni particella, sappiamo che, in generale ( 3 ), 



^ - i j^Af^a -f- w, cos ^ — w 2 cos nz -\- (2 — Ar'A 2 ) . 6 . cos wsTj ; 



(') Vedi Almansi, SulV integrazione dell'equazione J 2n = 0. Annali di matematica, 

 ser. 3 a , tomo II. 



( 2 ) L'annullarsi della 6 all'infinito è evidente per le condizioni sottintese all'infi- 

 nito per le funzioni X^Y^Z^, date nel piano xy . 



( 3 ) Vedi Volterra, Acta mathematica, cap. II, art. 9°. 



