— 160 — 



della F è di classe m, sarà q = 2m — l. E poiché, per quanto è detto 

 sopra, i q S 2 r-t (r — l)-tangenti in punti di a n e di b n sono dati dagli 

 Ssr-e {r — l)-tangenti negli n punti comuni ad a" e a b n , e dai /? S 2r _ t 

 (r — l)-tangenti singolari, mentre l esprime il numero delle generatrici 

 singolari per una superficie di ordine n e di genere p dello S {r _ 3 (proie- 

 zione della F" da una retta generica dello S Ir _i) cioè l = /? (n , p , 2r — 8), 

 e m non è che l'ordine della curva trasversale di una superficie dello S tr _ t , 

 pure d'ordine n e genere p (proiezione della P n data nello Sai—a > fatta da 

 un punto generico), ossia m = y{n,p,2r — 2), si conclude: 



(2) 0(n,.p ", 2r — Ì) = 2y(w ,jp , 2r — 2) — ,p , 2r — 3) — n. 

 Questa formola, insieme eoo la (1), ci permette di ricavare 



\ y(n , p , 2r) = (r 4- 1) n 4- 2r*(p — 1) 



(3) l 



I (}(n .p,2r — \) = rn-\- 2r(r — 1) (p — 1) . 



Infatti, per r = 2, la seconda delle (3) è notoriamente valida, ed è quindi, 

 come mostra la (1), valida anche la prima; e dalle (1) e (2) segue poi 

 subito che, se le (3) sussistono fino a un certo valore di r, sussistono anche 

 pel valore successivo. Così concludiamo : 



In generale una superficie rigata di S Sr , di ordine n e genere p ,. 

 ha una curva trasversale d'ordine 



(r+ l)n-t-2r*(p — ì), 



E anche: 



In generale, una superficie rigata di S Sr -i , d'ordine n e di ge- 

 nere p , ha rn -J- 2r(r — 1) (p — 1) generatrici singolari (cioè situate in- 

 un iperpiano con le r — 1 consecutive). 



Per calcolare l'ordine ca(n ,p , 2r) della oo 1 di S r _ x trasversale della &, 

 possiamo ancora applicare un procedimento ricorrente, non dissimile, in so- 

 stanza, da quello adoperato dal Morale nel caso particolare da lui conside- 

 rato. Se <P' è la proiezione generica della <P sopra uno S 2r -i, e se P è la 

 proiezione della curva trasversale, gli S r _! , appoggiati a r-)-l generatrici 

 consecutive della O , si proiettano negli S r _: passanti pei singoli punti 

 di r' e appoggiati a r generatrici consecutive a quelle cui appartengono 

 quei punti. Determiniamo anzitutto l'ordine della varietà di questi oo 1 S r _! , 

 ossia il numero di quelli tra essi che si appoggiano a uno S r _! generico, 7t r _ x . 

 A tal uopo consideriamo, sopra V , la corrispondenza in cui sono omologhi 

 due punti A x , A 2 , tali che A 2 sia ulteriore iutersezione della T' con una 

 S r _i appoggiato a n r _ x , alla generatrice per k x e ad altre r — 1 ad essa 

 consecutive. Queste r generatrici, quando sia fissato Ai , determinano con 

 7i r _i , quale varietà degli S r _! appoggiati ad esse e a n Y _ x , una V£ r _ 2 ,. 



