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per cui ciascuna delle r generatrici ha molteplicità r — 1 ; cosicché la cor- 

 rispondenza è a valenza r (r — 1), e ad A x corrispondono r Qr -j- 1) n -j- 

 -\-2r*(p — 1)] — r(r — 1) punti A, : il numero dei punti A t corrispon- 

 denti ad A t è poi dato dal numero degli S r _ s trasversali della rigata d'or- 

 dine n — le genere p di uno S sr _ t (in cui la <P' si proietti dal punto A 2 ) 

 che si appoggiano ad une S r _ 2 generico; ossia ad A s corrispondono w (n — 1 . 

 p , 2r — 2) punti Ai. I punti uniti della corrispondenza sono pertanto 



r Q r H~ 1 ) n ~h % r * (P — 1 )] — r(r — \ )-\-<o{n — 1 , p , 2r — 2) -f- 2r(r — l)p. 



Tra essi sono da contarsi, ciascuno r — 1 volte, i punti di intersezione 

 della T' colle generatrici singolari della <P', per ciascuno dei quali pas- 

 sano r — 1 S r _! appoggiati a n r _ x e a r -\-\ generatrici consecutive 

 della O' , S r _i che tuttavia non sono, in generale, proiezioni di S r _i ap- 

 poggiati a r -f- 1 generatrici consecutive della <2> . Ricordando che quelle 

 generatrici singolari sono rn-\-2r{r — 1) (p — 1), resta dunque 



(4) co(n .p , 2r) = w (n — 1 ,p , 2r — 2) -|- 



-f- 2m -f- (5r l — 3r) (p — \) -\- r{r — l)p , 



da cui segue 



(5) (ù{n,p ,2r) = r(r-{- l) n + r(r+ 1) (2r -l)( p — 1) , 



poiché tal formola, valida per r =«= 1 [allora essa porge w = 2 {n-\-p — 1) 

 e coincide con quella che assegna l'ordine di una curva piana di classe ri 

 e genere p'\ , si dimostra per induzione ricorrendo alla (4). 



In generale, una superficie rigata di S 2r , di ordine n e genere p, 

 ha una co 1 di S r _i trasversale d'ordine 



r(r-\-\)n-\-r{r-\-l){2r—\){p — \). 



2. Si scorge facilmente, ed è noto ( 3 ), che in generale lo S 2r _i (r — 1)- 

 tangente a una rigata di S 2r lungo la sua generatrice generica a , contiene 

 lo spazio r-tangente alla curva trasversale Y nel punto A situato su quella 

 generatrice, mentre questo spazio non sta, generalmente, con lo S 2r _ 3 (r — 2)- 

 tangente lungo a in uno spazio di dimensione <^2r — 1 . Supposto ora 

 r > 1 , in quanti punti della curva trasversale si presenta la particolarità 

 che lo spazio r-tangente e lo S 2r _ 3 considerati stiano in uno S ìr _ 2 (parti- 

 colarità che può eventualmente essere dovuta all'altra, che lo spazio r-tan- 

 gente alla r in A abbia dimensione < r) ? Allora, e solo allora, si presenta 

 anche l'altra circostanza che non solo lo spazio r-tangente, ma anche lo 

 Sr+i {r + 1) -tangente a T in A è contenuto nello S 2r _! (r — l)-tangente 

 lungo a, oppure è sostituito da uno spazio (r -4- 1) -tangente di minor dimen- 

 sione, almeno quando si supponga che mai r generatrici consecutive giano 



