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al Vitali, si basa sul concetto di nucleo di un insieme d' intervalli (*), e 

 su un teorema geometrico ad esso relativo, per il quale, se m è la misura 

 del nucleo, si può, dall' insieme considerato, estrarre un numero finito o una 

 infinità numerabile di intervalli, due a due distinti, di lunghezza comples- 

 siva noD minore di m II terzo, «nfine, quello del De la Vallee Poussin ('), 

 deriva dalla considerazione delle funzioni maggiorante e minorante, rela- 

 tive ad una funzione f(x) integrabile, le quali rappresentano, in tutto l'in- 

 tervallo dato (a,b), l'integrale j f(x)dx con una approssimazione prefis- 

 sa 



sata ad arbitrio, la prima per eccesso, la seconda per difetto, ed hanno i 

 loro numeri derivati tutti superiori, la prima, tutti inferiori, la seconda, 

 a f(x) . I due ultimi metodi non si servono per nulla del transfinito, ma 

 risultano, a confronto col primo, assai più laboriosi. 



In ciò che segue mi prepongo di esporre un nuovo metodo, che mi 

 sembra più elementare ed anche più intuitivo di quelli sopra menzionati. 

 Io prendo le mosse dalla seguente osservazione : È noto che una funzione 

 continua f{x), data in un intervallo (a , b) , può rappresentarsi con quella 

 approssimazione che si vuole, mediante l'ordinata <p(x) di una poligonale 

 inscritta nella curva rappresentatrice della funzione medesima. Orbene, se 

 la funzione considerata è anche a variazione limitata, la <p(x) non solo rap- 

 presenta, come abbiamo detto, la f(x), ma serve pure a darci, con la sua 

 derivata, una rappresentazione quasi completa della derivata f (x) . Con 

 maggior precisione possiamo dire che, preso arbitrariamente un s positivo, 

 è possibile di determinare un d^>0 tale che, se le ascisse dei vertici 

 consecutivi della poligonale y = (p{x), inscritta in y = f{x), differiscono 

 fra loro per meno di à, è \f(x) — <p{x)\<ie in tutto (a , b) , e \f'(x) — 

 — 9>'{^)\ < C £ i n tutto (a,b), fatta eccezione, al più, per i punti di una 

 successione d'intervalli, non sovrapponentisi, di lunghezza complessiva 

 minore di s. [Se togliamo la condizione della continuità della f{x), vale 

 a dire, se tale funzione è solo a variazione limitata, la <p{x) dà, di essa, 

 non più una rappresentazione completa, ma quasi completa, e resta poi an- 

 cora quasi completa la rappresentazione che della f'(x) dà la Sfru-t 

 tando l'osservazione ora fatta, si può confrontare facilmente 1' integrale 

 della f'{x) con quello della <f'{x). Da questo confronto scende senz'altro 

 la proposizione voluta. 



(') Secondo il Vitali (Sui gruppi di punti e tulle funtìoni di variabili reali, in 

 Atti della R. Accad. delle Scienie di Torino, 1907-1908), un punto P fa parte del nucleo 

 di un sistema d' intervalli se, comunque si scelga un e>0, esiste sempre qualche inter- 

 vallo del sistema, di lunghezza <e, al quale appartenga P. 



( 3 ) Cours d'Analyse infinitésimale, toni» I (3 C édit., pag. 269). 



