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1. — Derivabilità, quasi dappertutto, di una funzione 

 a variazione limitata. 



Sia f(x) una funzione a variazione limitata, data nell'intervallo (a , b). 

 Supporremo senz'altro, nei ragionamenti che seguono, ?he 'a f(x) sia anche 

 continua (ipotesi necessaria per il teorema del n. 4, al quale vogliamo arri- 

 vare), lasciando al lettore di fare le poche e lievi modificazioni indispen- 

 sabili nel caso della discontinuità. 



Per essere la /"(ce) a variazione limitata, la curva y = f(x), (a^x^Lb) 

 ha una luughezza finita, che indicheremo con L. Dividiamo l'intervallo (a, b) 

 in parti, in modo arbitrario, mediante i punti a = x (t) <Cx (l) <C ■■ <ix m = b, 



e indichiamo con p^'^p* 1 * p< m) i punti corrispondenti della curva 



y = f{x). La poligonale n, avente questi punti come vertici successivi [po- 

 ligonale inscritta in y — f(x)~\, ha una lunghezza non superiore a L, che 

 indicheremo con la stessa lettera n. Consideriamo una qualunque delle parti 

 in cui (a , b) è stato diviso, la (x < - r ~ 1) , x ir) ) , e in essa due punti x e x', 

 ai quali corrisponderanno sulla nostra curva i punti P e P'. Indichiamo 

 con a(P Cr_1) P^' , PP') l'angolo, compreso fra 0 e re, che il segmento orien- 

 tato P (r ~" P (r) fa col segmento orientato PP' o con P'P, a seconda che 

 è x <C x oppure x > Se allora à = (x , x') è un qualsiasi intervallo 

 non nullo appartenente a (x ir ~ l) , x lr) ) , ed s è un arbitrario numero posi- 

 tivo <^1, si possono costruire, per la funzione F(J) = a(P <r-1) P <r) , PP') — e 

 e relativamente all'intervallo (x ( - r ~ l) , » (r> ) , i due sistemi d'intervalli J 

 e J , definiti nel n. 1 della mia Nota Successioni di curve e derivazione 

 per serie (*), e che contrassegneremo con l'indice r, scrivendo 4 ir) e J (r) . 



Dal modo di costruzione di questi intervalli risulta: 1°) Y ^ n ^8y / r) ; 



n n 



2°) se P e P' corrispondono agli estremi di uno stesso J%\ è 



a (p<r-n p<r> f pp 7 ) > f ; 



3°) se (x,x') è un intervallo di (cc <J " _1) , x^ r) ) avente un estremo esterno a tutti 

 gli intervalli Jff (« = 1.2,...), è 



a (? lr - lì ? (r) , PP 7 ) < * . 

 Consideriamo ora i sistemi J (ry e J lr1 relativi a tutti i valori di r, 



m 



da 1 a m, e cerchiamo un limite superiore per la somma y y . Fra 



r—l n 



(*) Questi Rendiconti, gennaio, 1916. Per il caso della f(x) discontinua, osserviamo 

 che quanto è detto al n. 1 citato, dipende solo dalla semicontinuità superiore della F(tT). 



