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tutti gli intervalli (r = 1 , 2 , ... , un ; n = 1 , 2 , ...) scegliamone ad ar- 

 bitrio p, e indichiamoli con /f x , J 2 , ... , J p . Inscriviamo, nella curva 

 y = f(x), la poligonale ri prendendo come vertici quelli della n ed i 

 punti corrispondenti agli estremi di z/j ,J 2 , ... , J p , intendendo che i vertici 

 di ri si seguano nello stesso ordine nel quale si presentano le loro ascisse. 

 Indicando con ri anche la lunghezza di ri, abbiamo ri — n <^ L — n . 



Detta 7t[ la parte di ri relativa ai segmenti J \ , J 2 , ••• , 4, p , e n\ la 

 rimanente, poiché ogni lato P (r ~ 1} P (r> di n è minore o uguale alla parte 

 di Tt\ , che gli corrisponde, moltiplicata per cosf, più quella di ri 2 , si ha 



Ti 



y p(r— i) p(r) 



< 7T! COS £ + 7To = 7T — TT\ ( 1 COS f ) , 7Ti <T ^ <C O ^ • 



1 1 — cos£ e* 



Ed essendo J 1 -\-J 2 -\ — -\- J p <. 7t[, ne viene, per l'arbitrarietà con cui 



m n m — 



i J P sono stati scelti, y <_3 — - — ed anche ) ; Jn ) <C s se 



r=i Ti s r=\ n 



£ Z 



è L — ti < — . Dunque, preso ad arbitrio un s^>0 e < 1, è possibile 



di determinare un ó ^> 0 tale che, se è J per ogni r da 1 a m, 

 x ir) — x lr ~ l) <. <J ('), fatta eccezione, al più, per i punti di (a, b) appar- 

 tenenti ad un'infinità numerabile di segmenti ( 2 ), di lunghezza com- 

 plessiva <Cs, per ogni altro x vale la seguente proprietà: essendo x' un 

 punto qualunque, appartenente, con x, ad uno stesso {x ir ~ 1) , x {r) ) , è' 



a(? {r ~ l) P (1 "> , PP')<ff . 

 Se x" è un altro punto di (x (r ~ n , x ir) ) , si ha anche, per gli stessi x, 



£ £ £ 



a(PP" , PP') <C 2«. Allora, sostituendo ad e, via via, — , ^ , — , si 



Li Li Li 



vede che, fatta al più eccezione per i punti di (a , b) appartenenti ad 

 un'infinità numerabile di segmenti di lunghezza complessiva <C2«, per 

 lutti gli altri esiste la derivata f'(x), finita o no: con altre parole, 

 la f'{x) esiste, finita o no, quasi dappertutto. Vediamo dove la f'(x) può 

 essere infinita. Indichiamo con l' la somma delle lunghezze di quei lati 



(') E L — 71 < — , e quindi Se la f(cc) non è" continua, non è possibile, in 



generale, di determinare il d nel modo detto. In tal caso si dirà: se i punti x( r ) sono scelti 

 e 3 



in modo che sia L — n < — 



y 



( a ) Questi J^p dipendono dal modo col quale si scelgono gli x( r ). 



