— 167 — 



TC 



di ti che formano, con l'asse delle ce, un angolo — ^r — 2 e, lati le cui 



Li 



proiezioni sull'asse detto hanno perciò una somma < l' cos i-^- — 2,sj <^ 

 < L sen 2s . Per tutti gli altri lati di ti , l'angolo formato con l'asse delle x 

 è <-^r — 2«; e, per quanto sopra si è stabilito, tutte le corde della curva 



Ci 



y = f(x) che si proiettano interamente sulla proiezione di uno di tali lati, 

 e in modo che uno almeno dei loro estremi venga proiettato fuori dei J ( n , 



TI 



formano con l'asse delle x un angolo <^ — — e. E se ne deduce che, se x 



è un punto della proiezione di uno di questi lati ed è esterno ai J%\ e se 



in esso esiste la f'(x), tale derivata è, in modulo, minore di tg — s^. 



Dunque, quasi dappertutto fuori dei J { n e delle proiezioni dei lati di n 

 che formano l\ cioè quasi dappertutto fuori di una successione di segmenti 

 di lunghezza complessiva <C s -f- L sen 2s , la derivata f'(x) esiste deter- 

 minata e finita e, in modulo, minore di cotg e . Ciò prova che una fun- 

 zione a variazione limitata ha quasi dappertutto derivata finita. 



2. — Rappresentazione approssimata della f'(x). 

 Detto p un numero intero positivo, determiniamo co in modo che sia 

 costei)' — j^j==i e 0 < co <^ • Allora, per ogni « positivo e — ~» S1 na 



cos (w — «)<.-. Fissato uno degli e detti, i lati della poligonale n, i quali 



V 



formano con l'asse delle x un angolo > co — £ , danno alla lunghezza di n 

 un contributo che indicheremo con l x , ed hanno, sull'asse detto, delle proie- 

 zioni la cui lunghezza complessiva è < l x cos (a* — s) <^ . Quasi dap^ 



pertutto sulle proiezioni dei lati rimanenti, e fuori dei J ( P , la f'(x) esiste 

 ed è, in modulo, <tg«o. 



Indichiamo con E 6 I" insieme dei punti delle proiezioni ora dette, esterni 

 ai J„ ] , con g>(x) l'ordinata della rt, con co 1 (x) e co 2 (x) gli angoli che le 

 tangenti alle curve y = f(x) , y = <p{x) formano con l'asse delle x. 

 È, su E e , 



- CO] CO 2 



f'(x) - <p'(x) = tg co, - tg c» 2 = cog2 _ , 

 dove w è un valore convenientemente scelto fra m x e e perciò (n. 1) 



f'{x)- <p'(x)\< 



s 



COS' CO 



Kendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 23 



