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Siccome e lo possiamo prendere piccolo ad arbitrio, la proposizione 

 enunciata nell' introduzione, è provata. 



3, — Integrabilità di f'(x). 



Sull'insieme E e la f'(x), essendo limitata ( | f (x) \ <C tg ft>) , è inte- 

 grabile e si ha, per la disuguaglianza precedente, 



L'integrale di |9>'(a;)| dà evidentemente la variazione totale di g>(x) 

 su (a , b) , variazione che è non superiore a quella Y di f(x). È dunque 



Je s 1 cos* o) 



Ora è w(E 2 )>(/y — a) — ~ — e> (b — a)— ^(L-j-1) e m(K t )-+b — a 

 per p — * oo . E poiché, per ogni p, possiamo sempre determinare s in modo 

 che sia g ^ a ) < 1 ne v j ene cne / a i^m è integrabile su tutto (a,b), 



C03* ù) p 



e si ha 



rh 



V. 



f 'Vi** 



4. — 1NTB(}RALE della derivata di una funzione 



ASSOLUTAMENTE CONTINUA. 



Se la f(x) è assolutamente continua, essa è anche continua e a varia- 

 zione limitata; e dalla disuguaglianza del n. 2 si ricava, su tutto E E , 



con 1 0(x) \<C 1 • Dunque 



f f'dx= f y'dxA-—^ f 6dx= f y , <te + -* W P' ) <?e, 

 Je e Je e cos* « Je e ./Et cos 1 «0 



con | (9 t | <^ 1 ; ed anche 



JE e Ja JC, C0S*o) 



