— 169 — 



dove C e indica il complementare di E,. E poiché la curva y = f{x) è una 

 poligonale coi vertici sulla y = f(x), si ha 



P <p> dx = <p(b)- <p(a) = f{b) -f(a) 

 Ja 



Pi 



<aj j f dx = /•(*) -fio) -f 0i *= : ■ 



Troviamo un limite superiore per il modulo di y>'dx. Osserviamo 



che il gruppo C, è costituito di due parti: una è formata dalle proiezioni 

 di tutti quei lati di n che con l'asse delle x fanno un angolo >. co — « , 

 proieiioni che indicheremo con (a, , b x ) , (a t , b 2 ) , ... , (a r ,b r ), e per le 



quali è — -J- — -\- (b r — a r ) <C — e l'altra è composta di un in- 

 sieme di punti appartenenti alle proiezioni dei lati di n che con l'asse delle 

 x fanno un angolo < co — «, ed ha una misura < s . Il contributo di questa 



seconda parte in <p' dx è quindi, in modulo, < e tg co ; invece quello 

 della prima è precisamente 



| SP(*,) — 5P(*i) IH h Jjp(*r) - <p(a r ) \ = 



= ] f Vi) - / («0 H hi/ (*r) - / («rj | • 



È dunque 

 (2) 



< * tg tu -f 



Scelto un rj > 0 ad arbitrio, determiniamo ^> in modo che si abbia : 



1*) - <. 7] ; 2°) per qualsiasi sistema di intervalli non sovrapponentisi di 

 P 



r 



(a , b) : (a! , b x ) , ... , («r , à r ) , tali che Y (# s — a,) < — , 



3=1 ^ 



(3) 



[ciò per l'assoluta continuità della /(ce)] ; 3°) per qualsiasi insieme misu- 

 rabile E di (a , b) , tale che m (E) > (è — a) — ì (1 -f L) , 



(4) 



