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1. Inscriviamo nella C una poligonale n, di vertici consecutivi P (0) , 

 P (1) , ... . P Cm) , corrispondenti ai valori t l0) = a < t (l) < - < t Cm1 = b del 



parametro t. Detta s (r) la lunghezza dell'arco P (0) P c?-) della C, ad ogni 

 valore di s compreso fra s (r-)) e s (r) corrisponde un punto P dell'arco 



)(r-i) p(r> 



P (r> , e ad ogni intervallo à = (s , s') di (s lr " l) , s (r) ) corrisponde un 



arco PP r di pfr-Dpcr) , di lunghezza d. Scelto ad arbitrio un numero po- 

 sitivo f, consideriamo la funzione dell'intervallo S 



PP' 



F(à)= 1 



s(PP') 



dove PP' indica la lunghezza della corda PP' e s(PP') quella dell'arco PP' 

 della C. Costruiamo per questa funzione F(S) , e relativamente all'inter- 

 vallo (s (r_1) , s (r> ) , i sistemi d'intervalli J e J definiti nel n. 1 della mia 



Nota Successione di curve e derivazione per serie (*)> e contrassegniamo 



tali intervalli con l'indice r, scrivendo J lr) e J lrì . Avremo, per ogni arco 



pp' 



PP', corrispondente a un J ir) , 1 >«, e, per ogni altro appar- 

 si l r ) 



tenente a P <r "" n P (r) e tale che P sia esterno a tutti gli archi che corri- 

 — PP' 



spondono ai J (r) , 1 — <^ e ■ Inscriviamo in C una nuova poligonale 



s(PP) 



ri servendoci dei vertici di n e dei punti corrispondenti agli estremi di un 

 gruppo d'intervalli, comunque scelti in numero finito fra i J%> (r = 1,2... m; 

 « = 1,2, ...). Indicando con L la lunghezza della C, e con gli stessi sim- 

 boli n e ri le lunghezze delle poligonali neri, abbiamo L — ri <[L — n. 

 Detta ora rci quella parte di ri che corrisponde agli intervalli J ( p scelti, 

 sia L] la somma degli archi di C relativi agli stessi intervalli. Si ha, dalla 

 prima delle disuguaglianze sopra scritte, moltiplicando- per s(PP') e som- 

 mando, L, — n[ _> «L ( , ed anche, essendo L t — iz\ < L — ri < L — ri , 



L,<<~(L — 7r); e siccome non è che la somma dei segmenti JÉ$ 



scelti per costruire ri, abbiamo 



mi mg 



I 2><T <-(L-ir) e ^P<3^° . II^<7(L-4 



Conveniamo di prendere per poligono n quello che, fra i poligoni corrispon- 

 denti a divisioni di C in archi di ugual lunghezza e soddisfacenti alla 



(') Questi Rendiconti, gennaio 1916. 



