L — 7r<^-« 2 , ha il minor numero di lati. È allora ^ j_ < s , e, 



" r=l n 



eccettuati al più i vertici di n ed i punti P appartenenti agli archi di G 



— PP' 



che corrispondono agli intervalli J ( ,P , è 1 — <C * , essendo P' un 



s(rr ) 



punto qualsiasi dell'arco P (r_1) P (r) del quale fa parte P. Sostituendo, via 



£ £ 



via, ad e, i valori — si vede che, eccettuati al più i vertici dei 



poligoni ti così determinati ed i punti P di C che fanno parte di un sistema 



PP' 



numerabile di archi di lunghezza complessiva <T 2«, è 1 — lim , =0. 



p'-> ps( PP ) 



Da ciò si conclude che è quasi dappertutto (come è ben noto) 



2. Indichiamo con Sì s V insieme dei punti P di C nei quali non è ve- 

 rificata la (3). Per quanto si è visto or ora, quest'insieme può essere rin- 

 chiuso in una successione di archi non sovrapponentisi di C, di misura com- 

 plessiva piccola a piacere; in altre parole, la sua misura, contata sulla curva 

 stessa, è nulla. Sia Sì t l'insieme di (a , b) che corrisponde a fì s nella cor- 

 rispondenza determinata dalla funzione s = s(t) fra i due segmenti (a , b) 

 e (0 , L). Per tale corrispondenza, ad ogni punto t di (a , b) corrisponde un 

 punto, ed uno solo, s di (0 , L) , mentre ad ogni s di (0 , L) corrisponde o 

 un punto t oppure un intero segmento di (a , b). Ad ogni intervallo (sì , s 2 ) 

 di (0 , L) corrisponde poi sempre un intervallo (ti , t 2 ) di (a , b) , ed è 

 rt 3 



Ss> — Sl — J s'(t) di , perchè la s(t), come funzione non decrescente, è a 



variazione limitata ed ha perciò, quasi dappertutto, la dirivata s'(t) integrabile 

 e -> 0 . Ad ogni successione di archi non sovrapponentisi di C , ricoprenti Sì s , 

 corrisponde una successione di segmenti di (a, b) Si,ó 2 ó r ,... non sovrap- 

 ponentisi e ricoprenti Si t ; e si ha, se <r è la somma delle lunghezze degli 



archi della successione detta, c> I s'(t) di. Si scelga arbitrariamente un 



numero positivo £ e si prenda, come successione di archi di C ricoprenti Sì s , 

 l'ultima successione considerata nel numero precedente (la quale è di mi- 

 sura <2«) e ad essa si aggiunga la successione dei vertici dei poligoni n 



là determinati. Si faccia poi la medesima costruzione sostituendo — ad « ; 



£ £ 



poi ancora per — — La successione di archi di C corrispondente 



